達(dá)人專(zhuān)欄
被遺忘的定理-正切定理
被遺忘的定理-正切定理
在高中數(shù)學(xué)中的三角比單元，大家都知道正弦定理還有餘弦定理，其名字對(duì)應(yīng)的正是sin 與 cos，那做為第三個(gè)重要的三角比tan ，沒(méi)人懷疑有沒(méi)有一個(gè)其對(duì)應(yīng)正切定理嗎？
實(shí)際上是有的。1580年左右，法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·維埃塔 (又譯韋達(dá))（法語(yǔ)：Fran?oisViète；拉丁語(yǔ)：Franciscus Vieta；1540年－1603年12月13日）在其著作《應(yīng)用於三角形的數(shù)學(xué)法則》中提出正切定理。可惜現(xiàn)今的教科書(shū)幾乎看不見(jiàn)此定理，被世人遺忘了。
(好好欣賞吧！)
正切定理：對(duì)於任意的三角形ABC，其對(duì)應(yīng)邊為a,b,c 則有
關(guān)於 和差化積 詳情可以看我之前的文章：為什麼要學(xué)「積化和差，和差化積」
得證明！ 與正弦、餘弦定理一樣，在描述三角形的邊角關(guān)係。
這應(yīng)該是最簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程了，試問(wèn)有無(wú)其他證明方法嗎？
(千萬(wàn)別認(rèn)真，絕對(duì)不能這樣做！ 想想上述過(guò)程犯了哪些錯(cuò)誤？)
那麼這個(gè)定理又有什麼用呢？可能會(huì)覺(jué)得，這看起來(lái)不就是有點(diǎn)複雜？要知道三角形的兩個(gè)邊跟對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角，才能代入此方程式？這樣好在哪裡？
維基百科上也只說(shuō)明「在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的輔助求解三角形時(shí)，這定理可比餘弦定理更容易利用對(duì)數(shù)來(lái)運(yùn)算投影等問(wèn)題。」
實(shí)際上是如何呢！？ 這公式怎麼可能比餘弦定理還好用？
就在此解說(shuō)正切定理真正的使用法！
解說(shuō)原理以及用法：
所以這個(gè)定理告訴我們，已知三角形的任意兩邊以其夾角，即可求其三角形之另外兩角，也就是能確定此三角形！
也就是SAS的情況，我們必定能夠唯一確定此三角形，雖然現(xiàn)在通常都用餘弦定理來(lái)解，但如果在那個(gè)沒(méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代，我們?cè)试S使用對(duì)數(shù)表、查表等技術(shù)的話，正切定理將會(huì)更好用。(至少在算出三角形的三內(nèi)角會(huì)更快)
這邊使用常用對(duì)數(shù)(底數(shù)為10)，來(lái)做式子的解說(shuō)，兩邊同取對(duì)數(shù)，並用對(duì)數(shù)律展開(kāi)
實(shí)際操作：
那麼來(lái)實(shí)際操作看看，來(lái)重現(xiàn)當(dāng)年是如何計(jì)算，如何應(yīng)用的！為何在那個(gè)年代使用上會(huì)比餘弦定理較好？真的有比較好用？
為了符合實(shí)際需求，數(shù)字將不特別設(shè)計(jì)過(guò)，覺(jué)得數(shù)字很醜很正常
首先考慮這個(gè)三角形：?ABC ，已知a=13.77 ,b=12.32 ,∠C=81.4°
求∠A ,∠B
都四捨五入到小數(shù)第四位再進(jìn)行運(yùn)算，中間計(jì)算的細(xì)節(jié)我就不多敘述了，有些不是查表看看就好，還要多少會(huì)log的基本運(yùn)算、內(nèi)插法、角度單位換算(十進(jìn)位換成分、秒單位)、tan的角度換算等。(當(dāng)然或許也有更強(qiáng)大的表可以查、或是當(dāng)年有不同的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行運(yùn)算也說(shuō)不定) 要精確一定要用更多細(xì)節(jié)，但我上面基本上就查個(gè)近似值就用，(連內(nèi)插法都省了)以體現(xiàn)查表的快速
而這是用GGB軟體所繪製的圖，和軟體所表示的近似角度，基本上非常接近，到小數(shù)第二位才有誤差，這還只是我隨便查表；不用內(nèi)插法、不特別去計(jì)算的結(jié)果就如此接近，有足夠的信心相信這個(gè)正切定理是很有用的
假設(shè)用的是餘弦定理呢？
當(dāng)然可以算，可是不好算，在那個(gè)沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代，要求人手算這樣龐大的數(shù)字將是個(gè)大難關(guān)，而且這還只是求出第三邊而已，要求得兩角，還必須再另外用兩次餘弦定理，在進(jìn)行查表的動(dòng)作，反觀正切定理，只要做簡(jiǎn)單的加減和查表即可解決！
這就是正切定理為何比餘弦定理還好用的地方了！
既然存在，為何不教呢？
為什麼現(xiàn)在不學(xué)了？被遺忘了？
上面演示了在那個(gè)年代，使用對(duì)數(shù)查表來(lái)應(yīng)用正切定理將會(huì)比餘弦定理還要實(shí)用，那麼為何現(xiàn)代的高中數(shù)學(xué)課本都沒(méi)寫(xiě)上去？不，甚至是一般大學(xué)理工科系同學(xué)，可能都不知道這個(gè)定理？
原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)?font color="#FF0000">隨著計(jì)算機(jī)的問(wèn)世，餘弦定理的計(jì)算問(wèn)題將不是問(wèn)題，只要把數(shù)據(jù)輸入，即可很快速的求得，而正切定理使用上較不直觀，學(xué)習(xí)上、證明上可能都比餘弦定理還要難，就算用計(jì)算機(jī)，多數(shù)人必定都傾向餘弦定理(可以很快地求出第三邊，另外兩角也只是再用餘弦定理而已) 而且查表有的誤差會(huì)大於計(jì)算機(jī)的使用上的誤差。更別說(shuō)108課綱已經(jīng)把查表這項(xiàng)技術(shù)刪掉了。相信未來(lái)的學(xué)生不會(huì)知道甚麼是查表、什麼是對(duì)數(shù)表、三角函數(shù)值表...
可以說(shuō)是時(shí)代的不同、使用工具的不同，不同定理也受到不同的重用。
定理本身並沒(méi)有錯(cuò)，只是不適合這個(gè)時(shí)代了。
結(jié)語(yǔ)
因?yàn)檫^(guò)時(shí)了，因?yàn)闀r(shí)代變了，因?yàn)椴皇悄莻€(gè)時(shí)代了…
這個(gè)正切定理遭到世人所遺忘，不受重用了。
正切定理因此流失在時(shí)代的洪流之中，過(guò)了更久，可能會(huì)被世人所遺忘吧...
沒(méi)錯(cuò)，但是我不會(huì)忘的，我會(huì)記錄下來(lái)。
只要這篇文章還在，這定理不允許被世人遺忘。
或許現(xiàn)在正切定理已經(jīng)不受時(shí)代所青睞了，但此定理也曾經(jīng)活躍過(guò)，在數(shù)學(xué)史上發(fā)光發(fā)熱過(guò)，未來(lái)的某一天，在某些時(shí)刻也能夠派上用場(chǎng)也說(shuō)不定！
正切定理永遠(yuǎn)都是我們數(shù)學(xué)界的珍貴寶藏！
反思：
(1)有什麼定理曾經(jīng)很重要，但現(xiàn)代也遭到世人遺忘？
(2)還會(huì)有餘切、正割、餘割定理嗎？
之前寫(xiě)的文章也歡迎看看：
