達人專欄春節加碼？ 從期望值來看賓果賓果能玩嗎？
最近過年，許多人都在玩刮刮樂、大樂透等等，期望自己就是天選之人，能中大獎
可是啊，哪有這麼幸運的事情
今天來發文談談期望值，就以比較冷門的賓果賓果來看，也順便練練排列組合、機率與期望值
來吧！
首先來看看賓果賓果的玩法：以下複製臺彩網站：再自行整理
什麼是BINGO BINGO賓果賓果?
「BINGO BINGO賓果賓果」是一種每五分鐘開獎一次的電腦彩券遊戲。每次開獎時，電腦系統將由01~80隨機開出20個獎號，您可以選擇「基本玩法」、「超級獎號」、「猜大小」及「猜單雙」等4種不同玩法投注，並依您選擇的玩法和選號進行對獎。
每一注都是25元
1.基本玩法
選號範圍為01~80，您可以任意選擇玩1~10個號碼的玩法（稱為「1星」、「2星」、「3星」....、「10星」），每次開獎時，電腦系統將隨機開出20個獎號，您可以依您選擇的玩法和選號進行對獎。如您的選號符合該期任一種中獎情形，即為中獎，並可依規定兌領獎金。
獎金部分：
網頁上提供的頁面不好看，沒有一圖式的
只好自己用excel列表看看，改成比較好閱讀的形式，也供大家好閱讀一點
其實投注單有表格，但看起來不好看，字又很小
第一列為玩法(1-10星)、第一行為中球數(0-10球都有)
好比選擇下注10星玩法，必須選10個數字，再看這些數字和系統開出的20個獎號是否有重疊，中幾個就是所謂的中球數，如果我選的10個數字中了9個，那就是中9。可以得到250000元，也就是上表第3列、第2行的地方
0代表獎金是0，而不是不會發生
空白是指空集合，根本就不會發生，(好比玩6星至多就中6個，不可能中7個)
那麼可以來算算看機率與其期望值了，其實在投注單後面會寫
先看最簡單的1星玩法：
全部有多少可能性? (也就是樣本數)
當然就是80個，這邊要視為"80取1"種方法數 (也就是會用到高中數學所學的組合符號囉
順便再對對看官網公布的機率值
看下表
2星的總中獎機率約為1/2.27≈0.44052…
差不多，由此可見官網數據大概是沒錯的
(四捨五入取到小數點後第七位。)
灰色代表不列入計算的部分，黃色才是總中獎率要計算的部分，可以發現臺彩也很聰明，幾乎那些機率高的都故意不開獎項。
可以發現大多數機率都蠻感人的，總中獎機率最高的反而是2星的玩法，其他有些連四分之一的機率都沒有。但知道機率還不夠，要知道中獎金額才可以算出期望值，才可以知道是否值得付出！這才是期望值的用意。
期望值的公式，這邊這樣改寫：
真的不知道也不用太介意，反正就是算出平均而言玩一次能夠得到多少錢
所以我們可以列出以下期望值表格：
自己增加一個可回收率，就是你與付出的相比之下，可以拿回多少比率的意思，看吧，多數連60%都沒有…
不過期望值最高的反而是9星，還有65%上下
然後1星是最爛的，可以預見的爛，只有四分之一的機率中獎，可是卻只有兩倍的報酬？ 怎麼看都很差，回收率僅僅一半。
扣稅
然後如果中大獎，超過3000元還有要抽成對吧
「獎額超過新臺幣5,000元者，應按給付全額扣取百分之二十，中獎獎金逾新臺幣5,000元，以現金或轉帳方式支付獎金者，需代扣千分之四印花稅」
我個人理解是超過5000就必須扣20%，要用現金或是轉帳再扣0.4%，所以只剩下原本的79.6%，有錯還請告知。就直接這樣算了
這就是抽成後的報酬表格：(更動的部分用橘色表示)
期望值也算一算吧
扣稅後的期望值表格
橘色為扣稅後的期望值，粉色為扣稅後的回收率，9星依然是最高的，但整體平均來說都不到60%
春節加碼
再來看看春節加碼的情況：
本活動期間，「基本玩法」1~6星玩法9個獎項提高中獎獎金，各獎項依下表之加碼後單注獎金給獎；其餘7~10星玩法之各獎項獎金維持不變。
這是調整後的獎金，其餘7-10星的玩法維持原樣
輸入excel這是調整後的獎金，其餘7-10星的玩法維持原樣
實際上加碼的只有這些，用紅色表示
雖然廣告宣稱最高中獎金額變兩倍，但更多數其實只增加沒多少而已…
更別說7-10星根本沒動
合理推測，最後的期望值應該不會說相差太多，我們還是列出來吧
紅色部分為更變過的
大部分還是有一定的提升，最高的是3星玩法，期望值來到20元上下，回收率超過80%，其次是6星的玩法 期望值來到可回收率來到76%
一樣考慮扣稅的情況：
粉色為春節加碼又同樣要被扣稅的部分
一樣來看期望值的改變
深粉紅色為春節加碼又是要被扣稅後的回收率
真的想玩，也就挑期望值高的3星的玩吧，至少虧的錢不會那麼多
本人親自實驗花1500元玩3星，一期下5組，連續下12期，共60注
最後拿回1450元，其實是超乎預期的 (期望大概1200就差不多了)
這大概是因為有中一個3星全中，得到1000元，如果沒有加碼，那只會有500元，那真的差很多
2.其他玩法
2-1超級獎號
賓果賓果BINGO BINGO每期開出的第20個獎號即當期的「超級獎號」。您可以針對當期的超級獎號進行預測，猜對即贏得獎金。
這也是很好笑，80分之1的機率，可是真的中了也只有48倍的報酬
期望值才15元喔
2-2猜大小
您可就當期BINGO BINGO賓果賓果開出的20個獎號中，較小的號碼（01~40號）或較大的號碼（41~80號）開出的個數進行預測。認為較小的號碼（01~40號）開出的數目將等於或多於13個號碼者，選擇投注「猜小」；認為較大的號碼（41~80號）開出的數目將等於或多於13個號碼者，選擇投注「猜大」，只要您猜中即為中獎。
2-3猜單雙
您可就當期BINGO BINGO賓果賓果開出的20個獎號中，單數(01、03、05…77、79)號碼與雙數(02、04、06…78、80)號碼所開出的個數進行預測。認為單數號碼開出的數目將等於或多於13個號碼者，選擇投注「單」；認為雙數號碼開出的數目將等於或多於13個號碼者，選擇投注「雙」 ，只要您猜中即為中獎。
猜單雙跟猜大小是一樣的，情況比較不複雜，將在下表一起列出其他玩法的期望值等
還有要注意，猜單雙 跟 猜大小，一開始就是不公平的了
居然要13個以上才算，很明顯發生機率絕對小於一半
然後是6倍報酬，真的合理嗎？
來算算看吧：
猜中「13個以上的數字都大於40」的機率為：
解釋一下：
樣本空間為C(80,20) 種方法數
「13個以上的數字都大於40」事件的方法數為：
「13個40以上的數字配上7個小於40的數字」+…+「20個40以上的數字配上0個小於40的數字」所以可以用總和去列式
將用此表格表示全部其他玩法
此表顯示 不論猜大、猜小、猜單、猜雙，猜中的機率皆一樣
春節加碼後的其他玩法：
可回收率不到七成，建議還是不要玩吧...
結論
結論當然是不要玩，這只是好玩而已
當然不可能靠這個賺錢，要玩賓果就不要想賺錢了
不過玩賓果還比較能享受到賺到的樂趣而已吧，至少平均來說玩個幾次就會中獎，比大樂透那感人的機率好一點，但從期望值來看只會賠錢 (這是一定的！
數學告訴你，玩了只會賠錢
千萬不要想自己就那麼幸運
生活即是數學，數學是很有用的，這不就是生活中的應用嗎？
用數學算算看、了解背後的機制，就知道該不該玩囉
(有那邊算錯，有任何問題都可告知)
數學是很有趣的。數學是很偉大的！數學就是純粹的美！
之前寫的數學文章也歡迎看看：
