達人專欄昨天提到了泰勒展開式，除了真的很熱以外，跟 e 又有什麼關係呢？
這邊先把昨天的結果寫出來：
我們知道如果想把一個函數 f(x) 寫成 x 的冪級數，那麼每一項的係數可以用原函數微分後的結果來求出。印象中不是有個函數不管微分幾次都長一樣嗎？對的，就是三天前開始講的那個主題：(e^x)' = e^x，我們就把 f(x) = e^x 展開來吧：
要計算 e 的話只要令 x = 1 即可，故
在實際算它的值之前，我們先來檢查一下右邊的式子會不會收斂，還是說它其實會跑到無窮大？這裡讓我們先來同意一件事情：
這個不等式看起來有點莫名其妙，不過左邊的分母比較大，所以整個值應該比右邊小沒錯吧，那麼我們改寫一下就會變成：
除了前三項以外，其他項完全可以比照辦理呢，所以直接寫成下面這樣：
那麼 e 的展開式就可以拿來比較大小了：
比較要留意的是 0! = 1 。最右側的加總項就是首項為 1，公比為 1/2 的等比級數和了，故
加到 1/6! 就已經得到 2.718 了，再多兩項就接近了 2.71828，再後面幾項隨著分母越來越大，就只是一些比較沒有聲量的小波浪而已。
那麼這裡一樣做個小結：
1. 為什麼要從泰勒展開式說起呢？從 e 的定義出發的話我們要計算 e = (1+1/n)^n ，其中 n 是一個趨近無窮大的數，現在我們有計算機能夠直接計算，可以發現就算 n = 100000 了還只是 2.71827 而已，更別提當初是要手算這些值：
2. 所以泰勒展開式的用途主要就是拿來估算一些指對數以及三角函數的值，如 sin(x)、cos(x)、還有 ln(x) 等等，當然理論上項數要算到無窮大才會是精確的值，不過上面我們也看到前幾項就已經非常接近答案了，再往下算也只是可不可以再更近似一點點就好。
3. 最後當然也有不適合使用泰勒的時候，比方說
#1. 最近的天氣實在太熱了，所以我們來聊聊泰勒展開式。
#2. 我恨你，鴨嘴獸泰勒！
