達人專欄接續上一篇的主題，來看看昨天關於 e^x 的證明出了什麼問題。
這裡稍微回顧一下問題的時間軸：
[1] 我想知道 e^x 的微分結果怎麼來的，也就是為什麼 (e^x)' = e^x
[2] 如果能知道 a^x 的微分結果，只要把 a 換成 e 就好，而 (a^x)' = a^x ln(a)
[3] 於是我們就去找了 (a^x)' = a^x ln(a) 的證明，就像下面這樣
問題就出在這個證明用到了 (e^x)' = e^x 這個前提，然而這個結果卻是我們想要求證的東西。換句話說即便 [3] 的證明是正確的，也不能以此為前提來證明 (e^x)' = e^x，所以當我們想利用 (a^x)' 的結果時，就得換個方式來得到 a^x ln(a) 這個結果。
以下讓我們回歸微分的導數定義，看看能不能得到跟 [3] 一樣的結果：
這裡簡單做一下變數代換，即令 
，則 
，且當 h 趨近於零時，u 亦趨近於零：
，則 ，且當 h 趨近於零時，u 亦趨近於零：
這裡冒出了一個很重要的極限值，在繼續往下之前我們先再做一次簡單的代換，即令 
，則當 u 趨近於零時，n 趨近於無窮大：
，則當 u 趨近於零時，n 趨近於無窮大：
這個極限值多重要呢？你一定猜到了，又或是早就知道：
也許以後我們再聊聊這個極限的收斂性，以及為什麼有辦法算出這個值，不過現在我們就先把 e 代進式子裡：
這裡已經得到我們要的結果了，最後用到一個對數的性質，也就是
到此為止應該就可以收工囉，不過為了扣題，我想最後再為這兩篇文章做個小結：
1. 因為大家對 e^x 的微分結果習以為常，所以對一開始 [3] 的證明是完全能夠接受的，然而當我們想用 [3] 的「結果」證明 (e^x)' = e^x，這個 [3] 的「過程」就是不能被接受的，即便它完全正確。
2. 上面的過程中我們也看到對於 e 的極限定義了，當極限出現時我們通常會想知道它是否收束為零、發散至無窮大，又或者收斂成某個定值，不過先讓我們在這裡留一個備考，也就是在這個例子中，其實 e 到底等於多少都不會影響證明。
最後一樣放個小問題好了：
#1. 三角形的內角和是幾度？(蛤？) 為什麼？
#2. 一個平角是幾度？(蛤蛤？) 為什麼？
