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意想不到的神秘角度問題

霧島悠樹 | 2023-09-23 20:15:05 | 巴幣 3244 | 人氣 4829


意想不到的神秘的角度問題


本文在討論上圖這個角度問題

最先是有人詢問我,本以為是稍難的角度問題,給我幾分鐘便可解決,沒想到一做下去,不得了,確實是難題。還比常見的角度難題更複雜(經典的20度問題) 便激起我的興致。

大家不妨嘗試看看,下面就要開始解說囉,不想看答案的趕快自己想,不要下拉

準備好了嗎?


大部分人可以很快發現此大三角形三角分別為48°-66°-66°
因此必為等腰三角形,然而關於所求的x還是不知。原本想說用正弦定理,但列出的式子醜到不行,基本上無能力解,而純幾何的作法更是想不透,只能亂猜測角度,最後使用軟體測量出角度,確定真相。


(所求為上圖的角BCP)

使用GGB做出此三角形,直接量測角度,所求角度是42度,那麼是否有合理的解釋呢?又不借用電腦軟體的幫助,又如何自己得知呢?

以下將分享自己找到的四種做法:(有些是自己想到,有些是別人提供,都會註明)

1.輔助線法:
此方法為在FB的數學社團所看到,由厲害的高手-「鍾昭旭老師」所分享,(已徵得對方同意)
此做法非常厲害,值得好好欣賞

做輔助線:
(1)做正三角形?ABD,如下圖藍色三角形
(2)做等腰三角形?ABE,如下圖橘色三角形



(3) 以 ??點為圓心, ??????為半徑畫圓


(4) 連接 ????? ,????


(5) 以E點為圓心,(EA) ?為半徑畫圓,並以E點為中心點做正五邊形ABFGH



確實做出來了,非常厲害的輔助線法
實在是難以想到,佩服想到這招的高手



2. 三角關係式
學過高中數學,可使用正弦定理(或是其他方法) 列出許多關係式,然而由於角度的關係,基本上是難以解下去的
在此提供一個較為簡單的做法:


接著嘗試解看看此方程式
基本上要解此三角函數方程式是非常困難的,雖然這些正弦值有辦法以根式表示,但會非常複雜,複雜到難以化簡,更別說解出來了
使用特別的化簡方法,必須利用:


實際上還有一個解:??=????°+??????°=??????°,以及這些同位角都符合
不過這不符題意因此不考慮


3. 過外心法
先說這算是比較投機的作法,如果並非這題的特殊狀況,可能不適用
也是我自己想到的做法
如下圖所示,必須去驗證:延伸 ?????是否也會過之外心 ??,如果是,這題將非常簡單






4.應用定理
此方法為巴友 (風吹翊影)所提供,在日本網站上找到的做法
在此推薦:おおせきの部屋 http://azuki2018.html.xdomain.jp/kakudo.html
此網站收錄了一系列類似的困難角度問題,有興趣不妨參考看看
也將做法詳細附上,值得好好欣賞

直接分享網站上的檔案,(如有問題還請告知,這邊僅作為分享作法之用)

以下作為解說
網站上收錄的題目,圖非常的簡單漂亮

必須先引用此定理 限定在圓內接六邊形才可使用,且對角線皆過一點P
此定理的證明過程如下,其實就是利用相似形的概念,並不難
可以算是西瓦定理的推廣



接著就可以開始做了:

此做法非常高明,再此解說一下
先做三角形的外接圓,並構造一個圓內接六邊形AFBDCE
接著利用定理證明三條對角線交於P點,即得到所求角度
中間那一長串的計算結果,就是再利用定理去做驗證
最終得出              
才可以說三線交於P點,(由它的定理)  才可以算出角度
(過程用到積化和差、三倍角公式、 sin18°等 )


此作法相當厲害,看完理解完實在覺得漂亮且奇特到不行,甚至是根本想不到(為何選用這個定理?為何知道要這樣構造?背後是想了多少?下了多少功夫才想到的?),很厲害的活用了此定理。佩服這樣的巧思,想到這招的人必定是個高手!



四個做法中,只有第一個做法算是純幾何的,其餘皆有使用三角關係式(或是說三角函數),二與三作法則是自己想到的,作法四則是讓我認識到許多厲害作法。我相信應該有其他做法的,數學之路條條大路接通!不限定任何作法,這才是數學的自由

還有人有什麼其他做法也都可提供出來討論!
你看懂了嗎?

參考:



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留言

創作回應

疾風的噗尼噗尼彈
看到第一眼在想這是不是平面 那些是不是直線w
2023-09-24 09:21:42
霧島悠樹
哈,都是平面
2023-09-24 11:41:09
霧島悠樹
立體的話 會超難
2023-09-24 11:41:14
steven
有夠難懂的,只看得懂一些而已
2023-09-24 11:19:10
霧島悠樹
哪個做法不太懂?
2023-09-24 11:43:19
steven
應該是比較難吸收,要多想一下才會懂,第一次看很多多不太懂
2023-09-24 11:45:03
霧島悠樹
正常的 多看多吸收
2023-09-24 12:02:59
超越者
不...我那個數學老師沒啥美感,倒是很喜歡惡作劇,像是用大學廣播系統喊數學系五年級某某某...整他學長,結果對方拿棍棒追殺他 ;不然就是偷拿鈉條在操場放水盆遠遠丟進去引發大爆炸什麼的...
2023-09-24 15:15:37
雪中一絲雨
這類題目蠻常在數學社團出現,印象中好像有泛用的方法?
2023-09-24 18:41:40
霧島悠樹
有,有大大挖出論文來討論這個 https://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf 猛
2023-09-27 12:35:32

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