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達(dá)人專欄
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這題有錯(cuò)！112 數(shù)學(xué)A 模擬考—「已知一點(diǎn)與兩角平分線，求原三角形」
本文將分享一個(gè)學(xué)測數(shù)學(xué)模擬考題出問題的例子
有更多想法與意見都?xì)g迎討論
此題應(yīng)該不算太難，但還是很多細(xì)節(jié)值得想想的~
就當(dāng)作年底最後的數(shù)學(xué)文吧！
此題為 112年 學(xué)測數(shù)學(xué)A模擬考 第三次全模 南一 (考試時(shí)間為112 /11/1 ~2 )
其中的選填16題：
如果沒有方法，要去找點(diǎn)B,C是非常困難的
有些人可能會(huì)想要設(shè)B點(diǎn)在L1 , C點(diǎn)在L2，再用參數(shù)式表示
接著可以去列式直線BC的直線，用「角平分線上任一點(diǎn)到兩直線距離相等」去求出
但這計(jì)算量非常大，也非常麻煩，不太可能要這樣做
一定要想想有什麼特殊方法才對
依照敘述，先不考慮此題在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與直線方程式
可以簡化為尺規(guī)作圖的一個(gè)問題：
「給定一個(gè)三角形，只知道其中一個(gè)頂點(diǎn)，和此三角形的另外兩個(gè)角的角平分線，求作此三角形」
不妨先想想看這是尺規(guī)作圖的問題的話該如何做呢？
如果能夠做出來，那麼當(dāng)然也可以用解析幾何的方式做！
有興趣的人想想看，不然下面要直接破梗了
我就是要揭穿，這個(gè)詳解的問題！
詳解上是這樣寫的：
寫得非常簡單，可是為什麼呢？
在此解釋一下，此作法的原理
也就是回答尺規(guī)作圖的做法：
「給定一個(gè)三角形，只知道其中一個(gè)頂點(diǎn)，和此三角形的另外兩個(gè)角的角平分線，求作此三角形」
具體作法為
1.由已知A點(diǎn)，分別對角平分線L1,L2作對稱點(diǎn)D,E
2.連接DE直線
3.DE直線與兩角平分線之交點(diǎn)即為原三角形的另外兩點(diǎn)B,C，即是還原三角形。
來驗(yàn)證看看：
我先畫隨意一個(gè)三角形
只留下點(diǎn)A與兩角平分線
開始作圖
1.由已知A點(diǎn)，分別對角平分線L1,L2作對稱點(diǎn)D,E
2.連接DE直線
3.DE直線與兩角平分線之交點(diǎn)即為原三角形的另外兩點(diǎn)B,C，即是還原三角形。
(看吧，不僅點(diǎn)一樣，角度也都確實(shí)是一樣！)
為何呢？
單看一邊，點(diǎn)A、直線L1以及對稱點(diǎn)D
由於是對稱點(diǎn)，現(xiàn)在直線L1相當(dāng)於AD的中垂線，也因此L1線上任一點(diǎn)P到A,D等距
也有直線L1平分角APD，如下示意圖
而另外一邊也是一樣，用L2所做的對應(yīng)點(diǎn)E同樣有這樣的性質(zhì)，
那麼只要連接DE直線，與L1,L2所交的點(diǎn)不就是原本的B,C點(diǎn)了！
看起來很合理，那麼為何我會(huì)說這題錯(cuò)了？哪裡錯(cuò)了？
實(shí)際上，用GGB軟體畫出來：
得到此圖：
接著再依照詳解的作法，(詳細(xì)作圖的過程我就不放上了，GGB軟體很棒可以直接畫對稱點(diǎn))
畫出以下
此時(shí)的兩個(gè)直線，真的會(huì)是B,C的角平分線嗎？
很明顯不是的，實(shí)際上這個(gè)L2是角C外角平分線！
連結(jié)在這 大家可以看看，也可改變A點(diǎn)的位置，看會(huì)怎麼變
做法並沒有錯(cuò)
此時(shí)依然符合「L2線上任一點(diǎn)到A,E距離相等」
是原本題目數(shù)據(jù)錯(cuò)了
這題存有瑕疵！
難道「隨便給一個(gè)點(diǎn)，跟兩條直線，說這兩直線是角平分線，我們就能夠還原三角形？」
這題正是犯了這個(gè)錯(cuò)誤，出題者誤以為隨意給了一點(diǎn)、兩角平分直線，就能夠還原三角形
實(shí)際上就這題的數(shù)據(jù)，要符合條件的三角形是不存在才對
那麼這題要送分才對吧！ (還請有考這份模擬考的本屆考生回答我，有送分嗎？)
這題如果數(shù)據(jù)正確，或是是個(gè)好題，但現(xiàn)在錯(cuò)了，就不是，反而成為為難考生的一題
不過平心而論，這題算難，不直觀、不好想，計(jì)算量中偏高
延伸思考：
原本的題目應(yīng)該怎麼改才會(huì)對？
改A點(diǎn)是一個(gè)比較恰當(dāng)?shù)南敕?，怎樣的A點(diǎn)搭配兩個(gè)角平分線才會(huì)使得這三角形成立呢？
怎樣的範(fàn)圍合適呢？
考慮A點(diǎn)在哪？會(huì)使得兩對稱點(diǎn)D,E的所形成之直線會(huì)平行於兩角平分線
(所以要分兩個(gè)去討論，其解也會(huì)是兩條直線)
那時(shí)的A必然不可成立，而我們要討論的就是這個(gè)時(shí)候，因?yàn)榭缭侥莾蓷l直線會(huì)使得所畫出來的三角形情況有所不同
經(jīng)過漫長的計(jì)算 (計(jì)算的過程就不放了)
可以得知只要A點(diǎn)在藍(lán)色區(qū)域中，都會(huì)使得這三角形得以還原！
此時(shí)的L1,L2 才會(huì)是B ,C的內(nèi)角平分線，而非外角平分線！
藍(lán)色區(qū)域?yàn)椋?3x+y-2)*(x-y+4) < 0 的範(fàn)圍
連結(jié)在這，歡迎體驗(yàn)看看有趣的變化~
(不妨想想怎麼算的？ 手寫題這樣考感覺更有趣
更有趣的情況：
此時(shí)兩直線都會(huì)是B,C的外角角平分線
延伸討論：
1. 已知三角形一點(diǎn)和兩中垂線，能否還原三角形？
2.已知三角形一點(diǎn)和兩中線，能否還原三角形？
3.還有什麼學(xué)測模擬考中錯(cuò)誤的題目都?xì)g迎提供
也跟考這份模擬考的同學(xué)說：不要覺得考不好就是數(shù)學(xué)不好，背後有這麼多值得討論的東西，居然期望學(xué)生能夠在短短的時(shí)間內(nèi)理解消化還要做答成功？
數(shù)學(xué)可是很嚴(yán)謹(jǐn)又需要大量思考的，有些人只是多想了點(diǎn)，不適合考試不代表數(shù)學(xué)不好
2023即將結(jié)束
有在最後一天多讀數(shù)學(xué)吧，就算跨年，還是什麼日子，數(shù)學(xué)帝國才不會(huì)因此停歇
2024年要來了
一樣要多讀數(shù)學(xué)！
之前寫的數(shù)學(xué)文章也歡迎看看：
