達(dá)人專欄今天要來講大名鼎鼎的尤拉公式：
關(guān)於尤拉公式的說明跟證明網(wǎng)路上的資料已經(jīng)很多了，不過這裡希望用大家比較能接受的脈絡(luò)來說明公式中的左項(xiàng)跟右項(xiàng)是怎麼來的，以及它們?nèi)绾斡鲈谝黄稹?br>
我想就直接從複數(shù)平面開始講起好了。在引入複數(shù)的概念後，我們可以將直角坐標(biāo)上的橫軸表示為實(shí)數(shù)軸、縱軸表示為虛數(shù)軸，則此座標(biāo)上的任一點(diǎn)座標(biāo) (x,y) 就都對應(yīng)了一個(gè)複數(shù) z：
其中 i 由 i^2 = -1 來定義。那麼學(xué)過三角函數(shù)的大家應(yīng)該都很熟悉，透過點(diǎn)到原點(diǎn)的連線與 x 軸正向的夾角 θ，我們可以用極坐標(biāo)的方式來改寫這個(gè)表示式：
其中 r 就是連線段的長度，
。為了簡化我們常就單位圓來討論，也就是令 r=1，如此一來 z 就單純是角度 θ 的函數(shù)了。
。為了簡化我們常就單位圓來討論，也就是令 r=1，如此一來 z 就單純是角度 θ 的函數(shù)了。當(dāng)看到函數(shù)時(shí)，數(shù)學(xué)家們自然就會想知道它的微分長怎麼樣：
眼尖的各位應(yīng)該不太難觀察出來，微分的結(jié)果其實(shí)就只是原本的複數(shù)乘上一個(gè) i 而已，也就是：
我們也可以說 
是上面這個(gè)微分方程的一個(gè)解。
是上面這個(gè)微分方程的一個(gè)解。到這裡為止我們要請第二位主角上場了：還記得我們曾經(jīng)看過一個(gè)東西，它的微分正是自己再乘上一個(gè)數(shù)字嗎？那就是這個(gè)系列最一開始介紹的東西：
為了讓乘上的 ln a 等於 i ，也就是 a = e^i， 所以
在這個(gè)情況下 
，而它也是上面微分方程的一個(gè)解。
，而它也是上面微分方程的一個(gè)解。到此為止我們的兩大主角都已經(jīng)登臺了，
和 
(因?yàn)橹皇谴碜償?shù)，下面我們會把 θ 都改寫成 x)，而且它們還都滿足同一個(gè)微分方程，那麼會不會有一種可能，其實(shí)它們根本就是一樣的東西？
和 (因?yàn)橹皇谴碜償?shù)，下面我們會把 θ 都改寫成 x)，而且它們還都滿足同一個(gè)微分方程，那麼會不會有一種可能，其實(shí)它們根本就是一樣的東西？這裡就用最容易理解的求導(dǎo)法驗(yàn)證看看，首先複習(xí)一下分?jǐn)?shù)形式的微分：
那麼當(dāng)我們微分兩個(gè)主角的比，就會有：
微分為零的意思代表這個(gè)東西其實(shí)是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)具體是多少呢？將 x = 0 代進(jìn)去我們就可以算出這個(gè)值，這個(gè)值正是 1，而當(dāng)兩個(gè)東西的比值是 1，它們也就是一樣的東西了，故最後我們得到
這就是著名的尤拉公式了。
這邊補(bǔ)充一點(diǎn)，上面的求導(dǎo)法在維基中被歸類在驗(yàn)證方法而非證明方法，某方面是因?yàn)楹芏鄷r(shí)候當(dāng)我們直接採用求導(dǎo)法時(shí)，隱約代表著我們早就知道左邊等於右邊的情況，或者簡單地問，你怎麼知道要把它們兩個(gè)放在一起求導(dǎo)？然而這篇文章正是希望帶著大家走一遍這條軌跡，也就更能接受求導(dǎo)的做法。
最後一樣放一個(gè)問題：大家可以試著用之前提過的泰勒展開式自己驗(yàn)證看看尤拉公式。
