達人專欄數學心語：善用正向回饋與負向回饋做數學學習
「數學心語」這主題就當作一個自己的學習數學上的心得分享，作為自己學習數年的數學心得以及作為數學家教教人數學的一些心得。
前陣子，有位高一生因為表現不好，最終不學了，原本這事情讓我有些打擊，但後來也釋懷。這位學生是以吊車尾的身分進了私校的「菁英班」，想說要跟上菁英班的數學才找上我。所以實際上開學才開始上課，真的沒上幾堂。(至於那種「掛名的菁英班」，我也想找時間批判一下)
家長好高騖遠，覺得能待在菁英班，數學就要跟上，但實際上根本沒這實力。是的，上了幾次，我真的覺得他國中數學基礎就很差了，好比一元二次式的因式分解這應該是國中數學的基礎技術都不熟，甚至是不會。一段考了4x分，雖然學生說已經比平常好，但實際上家長應該是蠻失望的，其實我也蠻失望的，考前還帶著做一次的考古段考題，結果考卷有一題根本只是改數字的題目而已，代表學生根本沒學會這題…
最後索性不上，原先我是有些難過，畢竟收入減少誰不難過呢？跟學生相處其實不差，也希望能夠帶起來，只能說家長期望過高，覺得在菁英班就要跟上，覺得有請家教有補習就應該要有成效，卻忽略很多學數學的細節。(數學應該要時間去培養的。怎麼可能立竿見影？)
可以看上次我的這篇：錯誤的學習數學心態與方法，此例子可以歸類於其中的「覺得付錢找老師、找補習班就能學好」
當然我可能也沒做好更多的溝通，是我要檢討。
這個例子我思考了幾回，便衍生此篇文章。
沒錯！
我覺得錯誤的引導與學習，使用不適當的書進行學習，只會有反效果。
他說學校使用兩本講義，對話式當作作業來寫，他的程度根本沒到，可是卻硬要寫難度遠高於他程度的對話式，是寫得蠻痛苦的，往往是抄後面的詳解，不懂得又要來詢問我。(估計有些也沒搞懂才對) 其結果就是根本沒什麼效，我講解了對方也不一定能理解與領會，還不如從基本的做起。
另外我也想批判一下對話式，在多項式函數這邊有些例題實在不適合做為初學者來練習，連最基本的例題都不給就直接上有變化過的例題，坦白說不好。怎麼說？像以下這個：
在係數和的例題，第一題居然就是這樣的題目，估計看到的小高一都被嚇死了
雖然在有經驗者的眼中就是非常簡單的一題目，將x=1 帶入 得到 h(1)=f(1)*g(1)，分別去求f(1)與g(1) 相乘即可得到所求。
然而沒有經驗的人，會想要做的是 真的將 f(x)*g(x) 得到一個龐大的多項式再去求...
還沒學多少，不了解概念，就直接上變化性的題目，當大家真的這麼厲害？
(當然要說對話式這本講義設計給的學生就是有一定水準的人也可
正確應該如何做？建議用正向回饋的觀點
引用教育百科：回饋作用
「『回饋』在心理學上的意義指的是個人在一個行為發生後，對於行為所造成的結果所做的解釋，而此解釋會影響下一個將發生的行為。
在教學中，一旦回饋循環形成，學習過程同時開始。學習者在反應之後，透過回饋訊息的獲得，個人得知自己的反應是否正確，從而做為校正依據並繼續反應，而達成學習的標的。行為心理學家、制約心理學家和行為改變學者都把回饋運用到他們的研究過程中。」
所謂正向回饋是怎樣？學習一個知識點，做相應的題目，而這個題目通常要先基礎一點，提及剛剛所學的知識點，做對了，才會有正向回饋，讓人覺得學會了，之後再去挑戰難度略高一些的題目，反覆操作，提升自己的信心。看如何應用？
以下用同一個數學概念，做正向回饋與負向回饋的舉例說明
就用數學概念：餘式定理，來做舉例
正向回饋簡單例子：
1.學了一個數學概念：餘式定理
2.挑戰一個基本的例題 (此為自己打的例題)
(這個例題最好要基本到可以用之前所學的其他方法去驗算其正確性，以這題來說，就算你真的去除也不至於太困難，也可以當作一個很好的驗算，甚至可以一併回顧先前所學的綜合除法)
3.可以靠自己的力量做對，覺得自己會了，得到一定的信心與回饋
4.再往上挑戰稍微難一點的題目，若可以答對會更有信心，若不會就多複習幾次，去了解作法
5.重複這樣的過程，實力穩定地提升
重複這個過程可以增強你對這個知識的理解與概念，得以達到一個正向的循環，千萬不要直接做難題，除非你真的很厲害，請先把基本的搞定再來說。
而難度高一些的題目，往往是不只考了剛剛所學的知識點，可能涉及數個知識、需要轉幾個彎才有辦法應付的，若學了點皮毛就去挑戰高難度的題目，而程度又沒到，只會得到反效果，可以說是負向回饋。以下舉例說明。
負向回饋簡單例子：
1.學了一個數學概念：餘式定理
2.挑戰一個難度高於自己程度的例題：
這邊直接引用對話式的例題，餘式定理第一題就給這個
(1)問題不大，但也不可能去真的除來驗算，只能使用餘式定理
有問題的是(2) ，拜託，f(g(x)) 這個是合成函數，前面有提到過？ 為何要放一個前面沒講清楚的東西在這邊？
3.題目做不出來、心態上覺得數學好難、覺得自己數學好爛
4.去看詳解，認為自己會了，但實際上依然一知半解，因為基礎依然薄弱
5.不斷重複上述過程，最後心態逐漸放棄、實際上在數學成績上也一直無法有好的表現
懂了嗎？正在看此篇文章的人，不知道你是哪種人呢？數學表現好或是數學表現不好的人？都無妨，你可以審視自己的數學學習歷程，是如何做到的？當然也有人就是比較有天分一點，可能不用做什麼太簡單的例題，直接上難題也可以接受，這都可以，每個人要找到自己的學習方法才對。
不做難題的疑問
你可能會有疑問，對許多人來說高中數學的最終目標就是學測或是分科測驗(說穿了就是為了上大學的考試)，以及中間大大小小的段考，而那些題目都好難，在這種情況下怎麼不盡快練難題？
學測數學難不難？ 難啊！基本送分題根本沒幾題，但有必要一開始就挑戰這樣的難題嗎？連基本的都不會、不熟，是要怎麼挑戰？怎麼好好學習？應該循序漸進，慢慢來，很多題目都是高度技巧性的，背後老師花許多時間研究所得出來的精華好題，豈是初學者隨便學學就可以理解的？就算硬要學大概也不懂背後的深奧。
重點結論：
善用正向回饋的做法來學好數學 (或是其他事物) 不要好高騖遠，從基本功打起！
很多人學不好，是用錯了方式，而非沒有學好數學的才能。
這點在私校感覺更常見，有些老師為了趕進度或是怎樣，不花時間把觀念講清楚，直接帶諸多題目，難怪很多人會受不了。
多看多想多思考，數學無捷徑。
數學可說是長年累積的智慧結晶，豈是凡人隨便花幾天就能學好的？
衍生思考：正向回饋與負向回饋的終極例子可能會很可怕：正是現代資本主義社會的「富者越富、窮者越窮」的現象，強者與弱者的差距不斷被拉大...
究竟你想要成為強者還是弱者？一切端看你的心態與方法
或許在財富上不是這麼容易，甚至是無法辦到的，但在學習數學上是可以做到的。只要有心，學好數學就是現在開始！
感謝閱讀，未來有空不時分享一些數學心語
