達人專欄霧島簡評新型學測試辦考試 數學A & 數學B
110年的指考數甲都過了一段時間(7/29)，原本想說要不要寫看看詳解，但看來似乎沒那麼難，或是說沒那麼有話題性，沒那種獨創特別的題目，而且網路上也不少人做了詳解，先作罷，其實更大的原因是當時蠻忙的，還請多包涵。
而明年度111年的學測，將會是108新課綱的首次學測，大考中心為了讓應屆高中生適應新型的學測，在9月1至3日舉辦新型學測試辦考試，考試範圍是各科新型學測範圍，原本的學測數學也分為數學A、數學B兩科。可以當作模擬考來做參考。
關於數學A、數學B兩科的差異建議自己去查查，可以看國教署的這份資料。可以想成「數學A為自然組、數學B為社會組的數學」，雖然課綱不這麼寫，但其實很接近了，還要注意就算是同單元，兩者的學習內容也不太一樣，也並非是數學B包含於數學A的這種關係。
寫了一下本次的新型學測試辦考試，才覺得有趣，本文就簡單分析這次的新型學測試辦考試試辦，高中生可以當作參考，看看未來的學測會變怎樣。為未來108課綱首次的數學大考做準備。
非高中生也歡迎看看，多關心一下數學吧
題目皆為大考中心提供，選擇題答案也可以去那邊對。
準備開始動動腦，來到數學世界囉
數A
題目：數A 試辦考試
說真的，比我預期得還要難，我就挑幾題略難的或是有特殊之處的來講，其餘的我想大多數人都有能力寫才對。真的有問題再來討論。
像單選5，這個旋轉壽司的題目就蠻有意思
為一個排列組合的題目，是我認為本次考試的難題，坦白說我錯這題...
不妨將壽司分為A1 , A2 , B1, B2......J1 , J2 ，A~J十種口味，用下標1,2區分兩個
不妨將壽司分為A1 , A2 , B1, B2......J1 , J2 ，A~J十種口味，用下標1,2區分兩個
每種壽司都至少被拿一盤，所以可以想成最後剩的是「A1, B1, C1...J1，這十盤中的各種組合」
所以組合數為
這是原本的想法，不過這是錯的，這沒有考慮到甲乙丙三人拿取的情況，這只是壽司剩下的結果可能數而已，我想不少人可能也會這樣寫錯。
真正的作法是：
考慮每一種壽司有兩盤，每種壽司都至少有人拿一盤，所以可能是被拿走一盤，或是兩盤都被拿走
1.拿走一盤：可能是甲乙丙三人其中一人拿的，有3種可能
2.兩盤都被拿走：因為每種壽司每個人只能拿一盤，所以只能是兩人各拿一盤，可能是甲乙、乙丙、丙甲，三種情況，也是3種可能
這樣3+3=6，每一種壽司被拿取就有6種可能，全部10種，那就是6^10 。
這才是考慮到三人拿取的狀況。感覺題目的用詞可以再精進，這樣寫蠻容易誤會的。
而單選6，這很明顯是要畫圖來解的，畫出兩個三角函數的圖形，看有幾個交點
畫完可發現有四個交點
其中sin(2x)+cos(2x) = √2sin(2x+π/4)
這是正餘弦的疊合，疊合好後再畫圖，注意有伸縮又有平移，如何將兩個函數圖畫好，這部份可能是容易錯的部分
注意正餘弦的疊合放到高二，是學測的範圍，而非像以前一樣是高三選修數學的內容
多選7是簡單的統計圖表的題目，但我覺得有點出不好就是
好比選項(3)、(4) 要算標準差與平均數，可是圖上所對應的數都沒標示清楚，當然或許就是要用目測的來看，但難免有爭議
(3)要算標準差，可以發現所有資料都介於10~13,14之間，標準差是一定小於3的，原因在於資料愈分散，標準差愈大，資料愈集中，標準差愈小，而且標準差會介於0~平均數之間
(4)要算平均數，這就有點勉強了，雖然大概可以看圖去對應到每個資料的數值，再去算。不過出題者希望的做法應該是：以15為標準畫一條水平線，發現其他資料大約呈現「以15為對稱軸」的情況，所以判斷平均數的整數為15。但會有點小爭議，可能會造成誤判，進而答錯。
選填題的部分，大概就選填17最有難度，其餘基本上是還好
先試著畫一個正四面體，在藉由題目給的向量內積的條件，得出AE會與AB、AC都垂直，
我用GGB簡單畫個示意圖：
「A點在原點，B點在y軸上、C點位於xy平面上」的正四面體，令D點在xy平面上方，如此一來座標都可算出來，而這樣設的好處是E點必然會是處於z軸下方，E的座標必為(0,0,-a)之形式，其中a為一正實數，可自行設，而這邊為了方便就令AE=AB，a為正四面體之邊長。
將坐標軸與平面都去掉，得到的圖形：這樣看應該比較清楚一點，也比較有概念
這邊為了計算上的方便，(不要出現分數)，就將正四面體的邊長設為6， (當然你想要用其他正數也可以)
我們可以架設座標，中間的計算過程請自己算吧，可以去看看空間概念的單元
算出ED向量，即可求ED長，三角形ADE三邊都有，cos∠DAE便可由餘弦定理求出：
不過這好像有點複雜，中間計算過程也沒那麼簡單，還要代入餘弦定理做最後計算。
其實cos∠DAE也可以用內積公式去算，這個方法不用管DE的情況，再計算上化簡了很多。
然而，難道就沒有別的方法了嗎？沒有更快的方法了嗎？
其實是有的！
將立體圖轉個方向，可以觀察到，其∠DAE=AD與xy平面的夾角 再加上 一直角
正是正四面體任一邊 (AD) 與頂點所在之平面 (ABC所構成的平面) 之夾角
那我們可以放到平面座標軸上，E點在正x軸，可隨意設
那麼要求cos∠DAE 便很簡單了
這個做法，非常簡單，非常漂亮，完全省去上面那些繁雜的計算
很考驗空間與幾何的觀念，展現了數學的精神，由不同做法切入，都可以得到一樣的結果。
而最後的混合題，混合題也是個全新的東西，其實就是題組中混合了選擇題與非選擇題，難度也循序漸進。反正多了手寫題，以後學測可不像以前全都可以猜了。
這邊我就三題一起講吧
18.很單純代點去算，得到關係式即可，19.再代個直線上另外一點，去解聯立即可
真正比較困難的是第20，要去說明其變換後的長度比例為定值。
用代數的做法為以下：
然而這題換個想法，將其矩陣視為旋轉矩陣來做：
作法二：
我想這可能才是大考中心期望的做法吧。到時再來看看大考中心的參考解答是如何做的。
這邊也可發現混合題三題是從簡單到困難的，跟國中會考的非選擇題蠻類似的作法。讓人從簡單的做起，跟著題目做，將有所收穫，程度不同的人也會寫出不同的結果，像有人不會證明最後一題，但只要知道線性變換，便可以做前兩題。算是出得不錯。
整張考卷難度是有的，各單元也都有涉及到；數與式、指對數、多項式、直線方程式、圓、排列組合、機率與統計、三角函數、平面向量、空間向量、空間中的直線與平面、矩陣等。考得很扎實，用到不少觀念，很不錯。
硬要說的話對數的比重太少，僅出現在第一題而已。再來就是空間的部分偏多，單選4、多選12、選填17，依照歷屆數據這邊會是學生出錯率偏高的單元，真的這樣考，應該很多人會錯這些。而若算上三角與向量的題目的話，這張考卷的幾何部分還真佔不少。
而三次多項式也很因應新課綱出現了(多選8)，新制度出現的新題目，猜未來應該會出一題吧。
想必到時考這樣的話，一定會引起軒然大波。老實說我都覺得明年這樣出，到時是不是會抱怨「108首次數學大考太難了」，當然也相信本屆高三生的表現吧，搞不好新課綱的高中生學習狀況優秀，表現優良反應在學測也說不定。
數B
題目：數B 試辦考試
數B倒是就簡單很多了，也真的因應新課綱做出調整，多了新的東西(，但基本上難度是頗平易近人的，我就不多說，挑一題我認為有趣且有深度的來講。
正是單選7：
乍看之下會覺得無從下手，只能憑直覺判斷，多數人直覺大概會選(4) 某兩條平行直線的一部份
但真的是這樣嗎？數學是講究思考與證據的，憑感覺最容易出錯。
再想一想，好好讀題目會發現「這個水杯並非圓柱，而是圓錐的一部份」，擺起來是斜的，所以這兩條線並非平行線，可能會有交點，所以應該選(5)某兩條相交直線的一部份，這會是一部分人的想法。
想到這邊會發現這題可能沒那麼簡單，然而這都不是正解。
這其實要考的是圓錐曲線的定義，圓錐的截痕：「一個直圓錐面和一個平面的截痕」
通常比較數學的語言來定義這個直圓錐面是說，有一條中心軸L，和一條母線M，L與M相交一點，但不垂直，將中心軸L固定，而母線M繞L旋轉一圈，則旋轉而成的曲面，即為直圓錐面。
而一個平面E，位置不同與傾斜程度的差異，使平面與直圓錐面有不同的截痕，產生不同的圖形。
想像一下：飲料杯可視為直圓錐面的一部份，而水面即為平面，這樣的模型便是「一個直圓錐面和一個平面」的情況，再來要想，會有怎樣的截痕？
將這個飲料杯擺放在水平桌面上，水面會和桌面平行，而飲料杯與桌面相交處為一直線，此直線會與水面平行，也就是，「平面與圓錐的母線平行，截痕便為拋物線」
這邊就用網路上的資源做分享，不妨實際去操作看看：
打上圓錐曲線 GGB 就有很多可以用了，也感謝製作這些教材的老師們
而題目的飲料杯大概就像這種情況，藍線為水面
我覺得這題出得非常漂亮，用簡單生活化的情境去考到圓錐曲線的概念。頗讓人意想不到的。沒有繁雜的方程式，也可考出圓錐曲線。
看似簡單，背後的觀念卻非常深入。有趣又不失深度，展現了數學素養，實在是一題好題！
基本上我覺得最有趣就屬這題，其餘我覺得大多還好。平常的訓練可能就做過的題目也不少。
注意：
圓錐曲線成了數B才有的部分，數甲看不到了，像這單選7
三次多項式一樣因應新課綱出現了，在多選10，這點與數A一樣
經緯度與球面座標也是數B才有的新內容，在多選12
總結：
雖然這是試辦考試只是參考用，但我想如果明年就真的這樣考，肯定會引起不小的話題，先猜標題：「108新課綱，學測數學A超難！」 之類的吧...
說實在，本次數A還蠻像是110學測的風格，或是說110學測數學正是當作新制度的實驗吧，難度真的不簡單：數字不再那麼漂亮，計算量不小，這點接近指考數甲，當然也不用那麼害怕，我還是認為學測是更簡單的，畢竟範圍更少、時間更多。當然明年開始指考改為分科測驗了，也不知道會變怎樣，真不知道明年就這樣考出來會如何，我想大考中心也會參考這次高中生考完的數據在做決定吧。
而數B部分難度相對而言就比數A低了不少，與數A的關係就如同指考數甲與數乙，不過看來數B純觀念跟判斷的比重更高了，大概就是所謂的「素養」吧。
整體而言，我認為大考改成這樣是好的，第一點：分成數A與數B，讓學生分流，不用都學同一套，有想要精進數學的、未來科系有相關的就選擇數A，而對數學沒那麼大興趣，未來科系也不那麼重視數學的就選擇數B。第二點：增加了手寫題的部分，也是我覺得好的改動，數學還是要動手寫，評鑑學生手寫數學的能力與素養，永遠都是選擇與填充，恐怕不少人都只是為了考試而去練數學，學了考試技巧，但手寫的能力偏弱，缺乏數學素養。
分流與手寫題是我覺得好的部分，當然，108新課綱在數學部分還有許多地方值得檢討與改進。學習的內容、學習目標、單元的安排、計算機教學等等 這些不少都值得討論，這有機會再說吧。說實在數學教育這明明是很重要的事情，關注度與其他社會議題相比卻好像很低...
本次考試就當作參考即可，考不好也沒差，知錯能改，慢慢進步，數學之路永無止境。
當然有問題都可好好交流討論~
感謝你的閱讀，有什麼問題都歡迎指教。有什麼意見都說，有誤的地方請大聲斥責。還請多多關照。
最後讓我自推之前發的文的，不時發數學文、一些心得文等
