緣起是小學奧數（奧林匹克數學競賽）題目。題目內容是很典型的二元一次方程組題型。由於是「小學奧數」，因此被限定只能用小學生理解範圍內的解題方式。簡單說嘛，就是畫數線，
而此時亞夜說了：「不就是加減消去法？」隨後又說：「二元一次方程組說白了也就代入消去法跟加減消去法兩種而已，什麼特殊解法最終還是繞不開加減消去法。」於是就開始有人說什麼「高斯消去法」啦「行列式法」啦等等，欸，不是國小奧數嗎？連高中的東西都出現了……
不過做人要負責任，既然提了就要給人家解釋清楚。為什麼亞夜認為，加減消去法就夠了。
在此之前還是先講一下什麼叫「方程組」。方程組又稱「聯立方程式」，簡單說就是有好幾組方程式，將他們並列在一起後且必須「同時成立」，因此稱為「聯立」。因此當中最基本的就是二元一次，也就是由兩條具有兩個未知數的線性方程式所組成的方程組。
最基本的方程式是一元一次方程式。而國小高年級裡面提到的「怎樣解題」裡面就有提到所謂「未知數」的觀念。而其實這個「未知數」說白了就是所謂的「方程式」的基本觀念，所以國小奧數題最喜歡的題目就是二元一次的方程式題，因為一元一次方程式稍微拓展一下就行了，雖然超綱了但卻也是用現有知識就能解的題目。
而二元一次方程組通常由兩個方程式組成。因此我們首先要做的就是「消元」，將其中一個未知數表現為另一個未知數的形式。
首先就是要使用一組方程式，藉由移項來將一個未知數表達成另一個未知數的形式，接著我們用這個條件帶入另一組方程式裡，就能得到一個一元一次方程式，進而求出答案。舉例來說：
以上這種解法稱為：代入消去法。
「代入消去法」的好處是夠直觀，幾乎不需要任何特殊技巧，只要懂得方程式的移項規則，也就是所謂的「等量運算」原則，任何有解的線性方程組都一定能解的出來。
不過缺點嘛……就是計算量可能會很大。因為最終你為了消元就要除掉係數，因此只要係數不是 1 就會跑出分數進而造成困擾。當然，如果係數是 1 的話那問題倒是不大就是了。
原則上學會「代入消去法」後就能解決所有有唯一解的線性方程組。不過為了節約計算量，通常這時課綱會教另一種解法：「加減消去法」。
加減消去法的操作原則是，把方程組各自乘以一個係數，讓其中兩個方程式的某一個未知數的係數相同，這樣就能利用減法的方式消元，進而求出答案。舉例來說：
可以發現，加減消去法比起代入消去法而言減輕了非常多的計算量，因此也是解方程組時最主力的計算方式。
簡單來說，解線性方程組，那就只有「代入消去法」與「加減消去法」兩種解法。而通常會使用的是後者，因此學到這裡，線性方程組的求解基本上就完事了。
【克拉瑪公式】
這時可能就有人要罵亞夜了：明明還有所謂「公式解」。只有兩種解法不會說的太武斷嗎？
並不會。
在講克拉瑪公式之前，要先講行列式。唉，這下就又 match 標題了，亞夜實在很不想教行列式，尤其是用來解方程組。
講行列式之前就要先講矩陣，先借用維基百科的圖：
能夠寫成這種形式的就叫做矩陣。矩陣只要是方形的就型，而不一定要正方形。然後這東西是一個純量，所以可以做四則運算。當中，乘法的做法是：「被乘矩陣的橫行，乘以乘矩陣的縱列，如此反覆直到每一個元素都算出來後再加總。」
看起來很複雜？我們直接做例題比較簡單：
很複雜嗎？其實順序是這樣的：
簡單說就是，左邊的橫行乘以右邊的直行，對應元素個別乘，然後加起來。
然後他是左邊第幾行乘以右邊第幾列，結果就是第幾行第幾列。
換句話說，結果的矩陣的行數會跟左邊相同，列數會跟右邊相同。以這個例子為例，兩行乘以兩列，因此結果就是２×２的矩陣。
為什麼要了解矩陣的乘法？因為可以這樣做：
到這裡，這不就是一個方程組嗎？
繞了一大圈，就只是要把方程組寫成「矩陣」的形式。而那是為什麼？只為了要使用行列式來求解方程組。
OK，行列式出現了。那麼什麼是行列式呢？行列式簡單說就是，矩陣的值。而二階行列式的算法是，矩陣左上往右下的對角線，減去右上往左下的對角線。至於更高階的行列式，則必須透過降階的方式求解。
喔順道一題，只有「方形」的矩陣可以求行列式。所以一定有對角線。
先看二階行列式。簡單來說，定義是這樣：
知道這可以幹嘛？可以套公式。
我們上面說了，方程組可以寫成矩陣相乘的形式：
這個形式等效於
那麼寫成這個形式可以幹嘛呢？答案是變魔法。
嘛，其實不是變魔法，而是套用克拉瑪定理。
克拉瑪定理具體證明亞夜就不做了，那個因為牽涉到空間向量。一般來說二元（平面）跟三元（立體）還能想像，四元以上的根本連想像都做不到了。因此直接說結論：
對於上述形式的矩陣方程式，定義幾個關鍵值：
被乘矩陣的行列式為「Δ」。
用積矩陣取代被乘矩陣的第n列，則該矩陣的行列式為「Δn」。
然後n=Δn/Δ。
看不懂嗎？沒關係，直接列式子就懂了：
以這個方程式為例：
則：
因此帶入公式：
轉眼間，解就求出來了，真是太棒了有沒有……才怪，並沒有好嗎？
當然學生要背這個公式，亞夜也不會去阻止，但問題是，這個公式並不會簡化學生的計算量，因此背它完全沒有意思。
怎麼說？我們如果用加減消去法去做這道題，要怎麼做？
有沒有看出端倪？
乍看之下，步驟變多，好像比較複雜？其實並沒有。為了使用加減消去法消元，我們必須對兩個式子都乘以一個數字。可你有沒有注意到你真的需要「乘開」的項目是什麼？是不是跟克拉瑪公式裡面你需要親自「乘開」的東西完全一樣？所以結果來說，克拉瑪公式只是加減消去法的簡潔表現形式而已，它的優點在於公式寫起來簡潔，但計算量本身其實並沒有減少。
所以克拉瑪公式是不是多元一次方程組的解題方式？的確是。
那麼多元一次方程組只有「代入消去法」與「加減消去法」兩種解法是錯的。當然不能這麼說。克拉瑪公式最終不過就是加減消去法的「代數表達式」，因此本質上仍是加減消去法。如果只是加以延伸變化就能說是「不一樣」的解法，那麼亞夜也能用加減消去法改個步驟，然後重新命名叫「亞夜消去法」，然後大家都來學習亞夜消去法來解方程組嗎？（於是從此以後，亞夜被從這個世界上消去了）
雖說不是不行，但真的沒有意義。因為這樣只會讓學生浪費一堆時間去學習「重複」的東西而已。
那為什麼課綱要教克拉瑪公式？克拉瑪公式真的有那麼尊爵不凡，值的學生花半個學期去學嗎？
當然說克拉瑪公式完全沒用也不對，只是它的用處其實沒有你想像中的大。就好比九九乘法，你用建構式數學的「連加法」一樣可以求解，但是背九九乘法則可以大幅縮短計算時間，這是有意義的；可是印度學生的「九九九九乘法」，把九九乘法從一位數拓展到二位數，需要背誦的項目從 81 項爆增到 9801 項，難度多了 121 倍，然後你得到了多少效益？如果不考慮效益，那為什麼不背「九九九九九九乘法」？為什麼不背「九九九九九九九九乘法」？瘋了？不是一樣意思嗎？
同樣的道理，加減消去法比起代入消去法有計算量上的絕對優勢，因此它值得學習；但克拉瑪公式之於加減消去法，就相當於九九九九乘法表之於九九乘法表，它的效益並沒有那麼大，因此亞夜認為這不過就是徒增學生壓力罷了。這種就適合放在選修數學，讓「真的很閒」的學生自主學習，而不是放到主要課綱裡逼著大家都要學。
這時有人會說了：克拉瑪公式的一大優勢就是能快速判斷方程組是否「有解」。
具體怎麼說？上面不是要把 Δ 放到分母嗎？那如果分母為 0 就出事了嘛！所以從克拉瑪公式就能很簡單的判斷：只要 Δ=0，那麼方程組不是無解就是無窮多解。
但是我們回到方程組的幾何意義來思考這件事，你會發現這個判斷式本身計算量仍然不會減少。一個多元一次方程式的幾何意義是什麼？
方程式的解的集合就是方程式的圖形，因此一元代表一個點、二元代表一條直線、三元代表一個平面、四元代表一個空間……以此類推。
當考慮到二元的部分，方程組解的意義是同時滿足所有方方程式的點的集合。既然單一一個二元一次方程式的解為直線，那麼二元一次方程組的解就是兩條直線的「交點」。
通常情況下兩條直線只會有一個交點。因此，通常情況下只會有一組解。不過，如果兩條直線「重合」，也就是說兩條方程式完全一模一樣時，那麼自然就會有無窮多解了。反之，如果兩條直線「平行」，那麼理所當然的就不會有交點，也就是無解。
那麼問題就在這了。加減消去法如何知道是否是「唯一解」？其實很簡單，因為你要做加減消去法，必然得先幫兩個式子各乘上一個係數（依照情況不同，當然可以是 1），目的是為了讓其中一個未知數的係數相等以方便進行「消元」的動作。而此時，如果兩個未知數會「同時」消掉，那麼這組方程組就會變成要嘛無解、要嘛無窮多解的情況。
舉個例子：
9x+12y=10
6x+8y=7
為了消去 y，把第一式乘上 2、第二式乘上 3，得到新的方程組為：
18x+24y=20
18x+24y=21
這時你發現 x 會同時消掉，那麼就滿足條件了。這個情形充要於消元時發生 0x+0y=a 的情況，其實觀察力好一點的同學早就會發現：當兩式的 x、y 的係數比相同時，那麼此方程組就不是唯一解。
為什麼係數比會相同？因為係數比決定斜率，而平行線的特徵就是「斜率相同」。重合線就更不用說了，都同條線了當然斜率也相同，因此係數比相同充要於斜率相同，而斜率相同充要於不是唯一解。
※充要＝充分且必要。即代表兩者為「同一件事」。
同時，x、y 係數比相同也同時充要於 Δ=0。請看以下推導：
係數比相同怎麼表達？在數學上會這樣寫：
既然如此，那它將會滿足：
這不就跟克拉瑪公式中的 Δ=0 完全一樣嗎？
所以說，有必要背嗎？你在使用加減消去法的過程中，自然就會發現了。
克拉瑪公式中要判斷究竟是無解還是無限多解的方法是，要去判斷常數項係數的比例與未知數項的係數比例是否相同，也就是：
這個場合無窮多解。
這個場合無解。
你還得去判斷比例，但在加減消去法的過程中，你消元的結果會是 0x+0y 的式子。此時常數項為 0 就是無窮多解（0x+0y=0 這不是廢話嗎？因此解有無窮多），反之無解（0x+0y 除了 0 以外還能是啥呢？）
比起還要去算常數項比例，直接減了不就一目瞭然了嗎？
而克拉瑪公式還有一個賣點：可以解二元以上的多元一次方程組。
以三元一次來說，總而言之換湯不換藥，它是這樣表達的：
於是乎：
好咧，三階行列式怎麼求？有公式可以背，有點小複雜就是。總結來說就是降階。
行列式怎麼降階？
選定第一行（方便起見），然後每個元素依序乘上餘元素的行列式。
奇數項為正，偶數項為負。最後加總即可。
※餘元素：「與指定元素同行或同列的全部刪除，剩下來的部分」
文字說明不好理解？直接做一次就懂了：
為什麼要寫成這個樣子？單純是為了公式好記，因為它其實長這樣：
雖然還算好記，但其實計算量根本一點都不小。
好啦，所以我們試著用克拉瑪公式來解三元一次方程組。因為方法是一樣的，所以就只做 x 的部分而已：
有沒有看到馬上就不想算了？有夠混亂的，重點是，三階行列式超級容易算錯。
那麼正規解法呢？高中在講三元一次方程組時會講到「高斯消去法」。而高斯消去法具體是怎麼操作呢？其實就是加減消去法的系統化應用而已：
先列出方程組。
高斯消去法的第一步：消元。這裡示範先消除y。
要做兩次，因為消元後剩下兩個未知數因此仍無法直接求解，需要兩個條件因此要做兩次。
將條件並列，再做一次消元的動作。這次示範消除z。
其實整個做法一樣就是加減消去法，只是換個名字而已。
展開。把重複項消掉，剩下來的項又都有 b1 這個共同係數所以可以約分，於是：
比較一下：
不能說十分相像只能說一模一樣。分子分母都差一個負號結果負負得正，至於項目排列的交換律問題甚至都不需要解釋了。
當然，計算過程要一直乘開，最大需要四個係數乘在一起，看起來計算量反而比行列式要大了。但實際解題過程中並不會碰到要直接把四個係數乘在一起的情況，因為實際代入數值的時候，能化簡自然就會化簡了。
所以總而言之，不管是克拉瑪公式還是高斯消去法，到頭來都只是加減消去法的延伸。這也是亞夜說：方程組只要學會加減消去法就足夠了。
行列式的化簡：
高中學行列式的時候會教「化簡」。因為高階行列式無法直接求解，必須透過降階逐次降到變成二階行列式後才能進行計算。所以儘管以代數形式表示時看起來亂七八糟，但實際求解時可以用一些技巧來節省計算量。
※三階行列式所謂的公式，上面也演示過，其實也只是降階後的必然結果而已。四階以上的行列式有沒有公式？有喔，但相信亞夜，你不會想背的。
首先，行列式因為是對角線方向乘，所以你按照對角線的方向鏡射的話，其值不變：
然後，行列式把某行或某列乘以 k 倍後加入另一行（不能是自己），其值也不變：
知道這兩個性質後，在解高階行列式時就很方便。怎麼說？因為你必須要先行降階，而降階的方式是選定一行或一列為係數，並乘以餘元素組成的行列式。那麼，如果能夠造出「0」來，計算起來不就方便了嗎？因為 0 乘以任何數都是 0，也就意味著連算都不用算。
那我們怎麼造出 0 來呢？大概是這樣：
這個動作叫什麼？阿不就「加減消去法」？
我們來看看實際應用：
具體做法：
第一行乘以 -4 加到第二行；同時第一行乘以 -8 加到第三行。
接著新的第二行乘以「負三分之七」加到第三行。
這樣只需要計算一條對角就好了，因為其他項都會「乘到 0」。因此答案為 1。
如果暴力做的話：
相較之下，暴力做好像沒有比較聰明。咱使用「加減消去法」化簡還比較快，可不是嗎？
那麼再回到上面的務實應用，高斯消去法解三元方程組看似複雜，但你只需要進行「三次」加減消去法就能求出一個未知數。求出未知數後再代入原式就能化簡成二元方程組。此時只要再進行「一次」加減消去法就能再求出另一個未知數，接著答案就求出來了。
而使用克拉瑪公式的話，你有四組行列式要計算。除非題目係數很特殊，不然暴力算太容易按錯了，可不是嗎？所以原則上一樣會透過「加減消去法」去進行化簡，那麼，每一組行列式要進行「三次」加減消去法，合計是 12 次，真的有比較好做？
【結論】
老實說，敝人並不反對背公式。一些常用的東西，背起來真的會比較方便。例如一元二次方程式的求根公式就是，因為太常用了。因式分解法的適用範圍太侷限、十字交乘法要求學生對數字的敏感性、配方法雖然是泛用性最廣的解析性解法，但配方法解出來的結果就是求根公式，既然如此，直接套公式，就不需要每次都經過配方的步驟，這跟九九乘法表一樣，是節約計算量並減少錯誤的有用工具。
可是多元一次方程組不太一樣。你不太會看到誰在那背公式的，因為真的是用不到。最終來說，都會回歸到加減消去法，你變不出新花樣。說真的，如果能有什麼新花樣出來，就不會發展幾百年了大家卻還在用加減消去法，因為它已經是解題方式的頂點了。
克拉瑪公式說是公式，不如說是剛好有這個性質，而且表達式足夠漂亮。基於「美感」，所以好像有必要講一下。然而數學課不是美術課，這種對於「美」的追求留給有興趣的學生去選修就好，至於必須交給學生的那得是真正實用的「工具」才行。所以為什麼敝人反對課綱裡硬要把克拉瑪公式放到必修課裡。
好吧……這東西出現在數學甲裡面，對於社會組來說的確不是必修，但對於自然組而言，克拉瑪好像也沒有那麼重要就是了。
所以怪不得亞夜不是理學院出身的。「實用思維」是典型的工科思維，這天生就是工學院的命啊。
封面圖片：艾蓮老師……等等，妳是教英文的不是數學啊
本篇使用的方程式編輯素材來自：LaTeX公式編輯器
