達(dá)人專欄意想不到的神秘的角度問(wèn)題
本文在討論上圖這個(gè)角度問(wèn)題
最先是有人詢問(wèn)我，本以為是稍難的角度問(wèn)題，給我?guī)追昼姳憧山鉀Q，沒(méi)想到一做下去，不得了，確實(shí)是難題。還比常見(jiàn)的角度難題更複雜(經(jīng)典的20度問(wèn)題) 便激起我的興致。
大家不妨嘗試看看，下面就要開(kāi)始解說(shuō)囉，不想看答案的趕快自己想，不要下拉
準(zhǔn)備好了嗎？
大部分人可以很快發(fā)現(xiàn)此大三角形三角分別為48°-66°-66°
因此必為等腰三角形，然而關(guān)於所求的x還是不知。原本想說(shuō)用正弦定理，但列出的式子醜到不行，基本上無(wú)能力解，而純幾何的作法更是想不透，只能亂猜測(cè)角度，最後使用軟體測(cè)量出角度，確定真相。
(所求為上圖的角BCP)
使用GGB做出此三角形，直接量測(cè)角度，所求角度是42度，那麼是否有合理的解釋呢？又不借用電腦軟體的幫助，又如何自己得知呢？
以下將分享自己找到的四種做法：(有些是自己想到，有些是別人提供，都會(huì)註明)
1.輔助線法：
此方法為在FB的數(shù)學(xué)社團(tuán)所看到，由厲害的高手-「鍾昭旭老師」所分享，(已徵得對(duì)方同意)
此做法非常厲害，值得好好欣賞
做輔助線：
(1)做正三角形?ABD，如下圖藍(lán)色三角形
(2)做等腰三角形?ABE，如下圖橘色三角形
(3) 以 ??點(diǎn)為圓心， ??????為半徑畫(huà)圓
(4) 連接 ????? ,????
(5) 以E點(diǎn)為圓心，(EA) ?為半徑畫(huà)圓，並以E點(diǎn)為中心點(diǎn)做正五邊形ABFGH
確實(shí)做出來(lái)了，非常厲害的輔助線法
實(shí)在是難以想到，佩服想到這招的高手
2. 三角關(guān)係式
學(xué)過(guò)高中數(shù)學(xué)，可使用正弦定理(或是其他方法) 列出許多關(guān)係式，然而由於角度的關(guān)係，基本上是難以解下去的
在此提供一個(gè)較為簡(jiǎn)單的做法：
接著嘗試解看看此方程式
基本上要解此三角函數(shù)方程式是非常困難的，雖然這些正弦值有辦法以根式表示，但會(huì)非常複雜，複雜到難以化簡(jiǎn)，更別說(shuō)解出來(lái)了
使用特別的化簡(jiǎn)方法，必須利用：
實(shí)際上還有一個(gè)解：??=????°+??????°=??????°，以及這些同位角都符合
不過(guò)這不符題意因此不考慮
3. 過(guò)外心法
先說(shuō)這算是比較投機(jī)的作法，如果並非這題的特殊狀況，可能不適用
也是我自己想到的做法
如下圖所示，必須去驗(yàn)證：延伸 ?????是否也會(huì)過(guò)之外心 ??，如果是，這題將非常簡(jiǎn)單
4.應(yīng)用定理
此方法為巴友 (風(fēng)吹翊影)所提供，在日本網(wǎng)站上找到的做法
在此推薦：おおせきの部屋 http://azuki2018.html.xdomain.jp/kakudo.html
此網(wǎng)站收錄了一系列類似的困難角度問(wèn)題，有興趣不妨參考看看
也將做法詳細(xì)附上，值得好好欣賞
直接分享網(wǎng)站上的檔案，(如有問(wèn)題還請(qǐng)告知，這邊僅作為分享作法之用)
以下作為解說(shuō)
網(wǎng)站上收錄的題目，圖非常的簡(jiǎn)單漂亮
必須先引用此定理 限定在圓內(nèi)接六邊形才可使用，且對(duì)角線皆過(guò)一點(diǎn)P
此定理的證明過(guò)程如下，其實(shí)就是利用相似形的概念，並不難
可以算是西瓦定理的推廣
接著就可以開(kāi)始做了：
此做法非常高明，再此解說(shuō)一下
先做三角形的外接圓，並構(gòu)造一個(gè)圓內(nèi)接六邊形AFBDCE
接著利用定理證明三條對(duì)角線交於P點(diǎn)，即得到所求角度
中間那一長(zhǎng)串的計(jì)算結(jié)果，就是再利用定理去做驗(yàn)證
最終得出 
才可以說(shuō)三線交於P點(diǎn)，(由它的定理) 才可以算出角度
(過(guò)程用到積化和差、三倍角公式、 sin18°等 )
此作法相當(dāng)厲害，看完理解完實(shí)在覺(jué)得漂亮且奇特到不行，甚至是根本想不到(為何選用這個(gè)定理？為何知道要這樣構(gòu)造？背後是想了多少？下了多少功夫才想到的？)，很厲害的活用了此定理。佩服這樣的巧思，想到這招的人必定是個(gè)高手！
四個(gè)做法中，只有第一個(gè)做法算是純幾何的，其餘皆有使用三角關(guān)係式(或是說(shuō)三角函數(shù))，二與三作法則是自己想到的，作法四則是讓我認(rèn)識(shí)到許多厲害作法。我相信應(yīng)該有其他做法的，數(shù)學(xué)之路條條大路接通！不限定任何作法，這才是數(shù)學(xué)的自由
還有人有什麼其他做法也都可提供出來(lái)討論！
你看懂了嗎？
之前寫(xiě)的數(shù)學(xué)文章也歡迎看看：
