主題
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題目意譯：
你被給定一正整數 p。考慮一陣列 nums（索引值從 1 開始）其由含端點之範圍 [1, 2 ^ p - 1] 中的整數並以它們的二進位制來表示所組成。你被允許執行任意次以下操作：
從 nums 中選擇兩元素 x 、 y。
選擇 x 中一個位元並與 y 中的對應位元去交換。對應位元代表著兩整數相同位置的位元。
例如如果 x = 1101 而 y = 0011，將從右邊數來第 2 個位元交換後，我們得到 x = 1111 以及 y = 0001。
找到經由若干次上述操作後 nums 之最小可能非零之乘積值。將這個乘積模 10 ^ 9 + 7 後回傳。
注：答案於模操作執行前，應為最小乘積值。
（譯者注：即「最小」不是所有可能乘積值取餘數「後」當中的最小值而是取餘數「前」的）
限制：
1 ≦ p ≦ 60
範例測資：
範例 1：
輸入： p = 1
輸出： 1
解釋： nums = [1].
其只含一個元素，所以乘積等於該元素。
範例 2：
輸入： p = 2
輸出： 6
解釋： nums = [01, 10, 11].
任意交換只會得到乘積值 0 或是保持原樣。
因此陣列乘積 1 × 2 × 3 = 6 已經是最小的值了。
範例 3：
輸入： p = 3
輸出： 1512
解釋： nums = [001, 010, 011, 100, 101, 110, 111]
- 第一次操作中我們可以將第二以及第五元素最左側的位元交換。
- 結果之陣列為 [001, 110, 011, 100, 001, 110, 111]。
- 第一次操作中我們可以將第三以及第四元素中間的位元交換。
- 結果之陣列為 [001, 110, 001, 110, 001, 110, 111].
陣列乘積為 1 × 6 × 1 × 6 × 1 × 6 × 7 = 1512，其為最小可能的乘積值。
解題思維：
可以看到十進位數字 1（二進位表示法為 000……1）越多越好，然後剩下的位元盡量聚在一起。因此例如 p = 3 時，最小乘積值的 nums 應為以下形式：
001
001
001
111
110
110
110
乘積值為 1512。
又例如 p = 4 會得到
0001
0001
0001
0001
0001
0001
0001
1111
1110
1110
1110
1110
1110
1110
1110
乘積值為 1581202560。
因此我們可以看到表示法全是 1 的（即 2 ^ p - 1）只會有一個、表示法除了最右側的位元以外都是 1 的（即 2 ^ p - 2）會有 2 ^ (p - 1) - 1 個。因此最小乘積值為
而右邊的項次可以利用快速冪求得並取模 10 ^ 9 + 7，參見這題。
不過我無法證明以上的正確性。希望有人可以補充說明。
目前遇到的問題是無法說明為何一定不會存在從上面「最佳」的乘積值開始交換位元之操作，數值先變大一陣子之後就變得比「最佳」還小的情況。又或是兩兩配對來交換成以上的最佳狀態，但如同前面所述無法說明不會有別的交換法使得乘積更小。
此次分享到此為止，如有任何更加簡潔的想法或是有說明不清楚之地方，也煩請各位大大撥冗討論。
達人
