主題
前言：
此篇範(fàn)圍約在《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》第三章，是已經(jīng)離開巴哈的派大星教授贈(zèng)與的。為了跟蹤(x)他，我也開始用ig了，熟悉的人搜一下我的英文名字應(yīng)該就找到了。
電子書 連結(jié)，歡迎一起讀。適合：大概知道內(nèi)積、外積、向量跟矩陣的程度
前置：
書中字體加粗的通常代表向量，小心別跟邊長(zhǎng)搞混了。
向量 (Vector)：
向量?jī)?nèi)積 Dot Product：如果是像我一樣因?yàn)橥鎁nity才認(rèn)識(shí)向量的，請(qǐng)把Unity 向量*向量的API忘記。向量的操做只有：
- 向量*純量
- 內(nèi)積
- 外積
講到向量相乘可能會(huì)想到內(nèi)積。
意義：兩個(gè)向量角度的差別。(O)交換律(O)結(jié)合律
P．Q= |P||Q|cosθ
大家都知道畢氏定理在垂直時(shí)：c^2=a^2+b^2當(dāng)非90度時(shí)， 可用：來(lái)源[1]所以原式可以寫成實(shí)用面：除了熟悉的投影之外，可以用來(lái)檢測(cè)夾角大小。夾角<90：P．Q>0夾角>90：P．Q<0夾角=90：P．Q=0
向量外積 Cross Product:
P×Q= |P||Q|sinθ意義：返回與P、Q垂直的第三軸。 可用來(lái)計(jì)算表面法線。《The cross product of two three-dimensional vectors, also known as the vector product, returns a new vector that is perpendicular to both of the vectors being multiplied together. This property has many uses in computer graphics, one of which is a method for calculating a surface normal at a particular point given two distinct tangent vectors.》[0]
(X)交換律(X)結(jié)合律使用右手法則若逆時(shí)針P到Q的夾角<180，得正。若逆時(shí)針P到Q的夾角>180，得負(fù)。若逆時(shí)針P到Q的夾角=0，得0。其他用處：P×Q=該平行四邊形面積。
其他：
醜筆記:
矩陣乘法 Matrix Multiplication
(X)交換律(O)結(jié)合律可以想像成座標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換。
推薦看：比較直接的算法：M1的row * M2的 column：來(lái)源：[2]
倒置矩陣 (Transpose Matrix)
逆矩陣 Inverse Matrix
只有n*n的方陣才有逆矩陣(不一定每個(gè)都有)。
無(wú)逆矩陣的稱為「奇異矩陣(Singular)」，可了解為一旦用了這個(gè)矩陣跟其他矩陣進(jìn)行操作，就回不去原本的矩陣了。奇異矩陣舉例：內(nèi)容為0的方陣。
奇異矩陣皆線性獨(dú)立。
用處：
還原轉(zhuǎn)換操作。
例) 還原旋轉(zhuǎn)的操作。
(旋轉(zhuǎn)-90度後再旋轉(zhuǎn)90度=旋轉(zhuǎn)回原位)
行列式 Determinate
意義：取得線性變換後，原面積的縮放係數(shù)。
只有方陣可使用。直接服用：
- det(M1M2)=det(M1)det(M2)
- 若M有一行0，則det(M)=0
- det(奇異矩陣)=0
特徵值 Eigenvalue、特徵向量Eigenvector
特徵向量：被線性轉(zhuǎn)換後保持相同方向的向量。特徵值：特徵向量線性轉(zhuǎn)換後的長(zhǎng)度(magnitude)係數(shù)，常用λ表示。det(λI-A)=0
意義：當(dāng)λ為特定某個(gè)值使得det(λI-A)=0，表λI-A為奇異矩陣，意即無(wú)法返回的操作(例如降維度後便無(wú)法復(fù)原成原本的維度。)
概念請(qǐng)看：推演、計(jì)算方式請(qǐng)看：醜筆記：
補(bǔ)充：
雖然跟矩陣沒(méi)關(guān)係複數(shù)(Complex number)：複合的數(shù)，例(1-3x)。虛數(shù)i：先定義i=(-1)^0.5。根號(hào)(-1)不存在，i^2=-1存在。
共軛 (Conjugate)
假設(shè)z=a+bi則共軛(z)=a-bi共軛(z)=z照x軸的鏡射
用處：用於簡(jiǎn)化複數(shù)的除法。
反射變化 Reflection Transformation
M是反射矩陣，且M與目前的左/右手定則方向相反。
若det(M)>0
M與目前的左/右手定則方向相同。
對(duì)角矩陣 Diagonal Matrix
用寫的比較好懂
正交矩陣 Orthogonal Matrix：
意義：一種基底座標(biāo)的可逆旋轉(zhuǎn)操作。
若C是n*n的正交矩陣，則C的行是由orthonormal set組成。
orthonormal set:
每行向量長(zhǎng)度=1、與其他行互相正交(點(diǎn)積其他行=0)
T(C)=C^-1
C的倒置矩陣 = C的逆矩陣
det(正交矩陣)只可能等於1或-1
det(正交矩陣)=1 表純旋轉(zhuǎn)
det(正交矩陣)=-1 表旋轉(zhuǎn)後反射(reflection)
用處：
基底座標(biāo)X的轉(zhuǎn)換：
參考、引用文章：
[0]Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics https://canvas.projekti.info/ebooks/Mathematics%20for%203D%20Game%20Programming%20and%20Computer%20Graphics,%20Third%20Edition.pdf
[1]The Laws of Cosines and Sines https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/trig/laws.html
[2]矩陣乘法 - 數(shù)學(xué)樂(lè) https://www.shuxuele.com/algebra/matrix-multiplying.html
我同學(xué)XD
後記：
等我這周讀完第四章再來(lái)講線性轉(zhuǎn)換。
學(xué)店?？粕?，因?yàn)榘嗌系囊恍B事害應(yīng)該教高中數(shù)學(xué)的課被浪費(fèi)掉。後來(lái)只是因?yàn)楹闷嫠蚤_始自學(xué)線代。感謝我同學(xué)、網(wǎng)路資源以及在巴哈跟我交流、勘誤的各位。
達(dá)人
