生活中比較少用到開平方根，
工程上比較容易遇到。
遇到開平方根的時候，
電子計算機就是超級好用的工具，
不過如果你手邊沒有電子計算機的話，
該怎麼算呢？
小學數學中，
加減乘除都有直式算法，
利用直式算法，
讓筆算變成一個相當方便的工具。
那麼平方根能不能筆算呢？
答案是：當然可以。
請看例題：
６ ２ ３
６√３８８１２９
６ ３６
１２２ ２８１
２ ２４４
１２４３ ３７２９
３ ３７２９
１２４６ ０
６√３８８１２９
６ ３６
１２２ ２８１
２ ２４４
１２４３ ３７２９
３ ３７２９
１２４６ ０
看不懂？
沒關係，
先讓敝人講解一下操作方式：
首先我們先把預計開方的數字從小數點開始，
每兩位為一個單位隔開。
當然習慣了以後可以省略這個操作，
但因為我們現在是要講解，
所以就先這麼做吧！
隔開後，
我們要找一個數字Ｘ，
使得左邊的數字跟上面的數字相乘後最大卻又不超過原數，
如下：
Ｘ
Ｘ√３８，８１，２９
Ｘ√３８，８１，２９
到這裡為止應該很簡單。
X乘以X要比38小又要最大，
那只能是6了對吧？
畢竟7的話就49了超過38啦！
因此我們就填X=6：
６
６√３８，８１，２９
６√３８，８１，２９
接下來就是跟除法一樣要做一個「減積」的過程，
所以我們把它寫在下邊，
然後減掉，
並且再放兩個數下來。
跟除法不同的是，
除法一次只放一個數下來而開方是兩個，
因此前面我們做分組的動作可以避免我們失誤。
６
６√３８，８１，２９
３６
２，８１
６√３８，８１，２９
３６
２，８１
再進行下一步之前，
我們還要做一個動作，
就是把左邊的數字跟X做一個相加。
右邊的數字是6，
此時X也是6，
所以6+6=12：
６
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２ ２，８１
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２ ２，８１
為什麼要這麼做呢？
待會敝人會證明，
總之現在先這麼記著。
接著我們現在要找一個新的X：
６ Ｘ
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２Ｘ ２，８１
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２Ｘ ２，８１
跟剛剛一樣，
令左邊的數字乘以X最大但不大於原數：
現在開始就比較好找了，
畢竟你管它X是多少，
反正它一定是120再多一些，
因此我們可以用除法中「估商」的技巧去猜X大概等於2，
畢竟2的話是244而3的話是369。
６ ２
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
２ ２ ４４
１２４ ３７，２９
按照剛剛的步驟，
減積完後放下兩個數字，
並且一樣把Ｘ跟左邊的數字相加。
然後接著，
我們繼續去找一個新的Ｘ：
６ ２ Ｘ
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
２ ２ ４４
１２４Ｘ ３７，２９
同樣的，
左邊是1200多，
3倍就3600多了，
因此就估3了：
６ ２ ３
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
６√３８，８１，２９
６ ３６
１２２ ２，８１
２ ２ ４４
１２４３ ３７，２９
３ ３７ ２９
１２４６ ０
沒有餘數，
這代表我們已經開方開完了。
因此388129的平方根就是623，
至於最後一步的1243+3=1246已經沒有意義了。
但如果還沒有開完的話，
我們可以從小數點後面繼續搬0下來繼續做，
就能開出小數點以後的位數了。
當然，
整數開平方跟如果開不完那就是無理數（無限小數而且又不循環）了，
請懂得適可而止。
【證明】
這需要國中代數運算的知識。
假設我們要求根的數字是a，
並且把根號a拆成(10x+y)的形式，
那我們就能得到一組方程式是：
a=(10x+y)^2
=100x^2+20xy+y^2
我們對等式兩邊共同減去100x^2，
得到a-100x^2=20xy+y^2。
做一下整理：
a-100x^2=y(20x+y)
當中，
a是要求根的數，
x是我們第一次試根的數，
因此a-100x^2就是我們第一次試根試完後的餘項。
而這個餘項=(20x+y)y。
所以有沒有看出關鍵了？我們得把剛剛試的那個根乘以20倍，
然後加上y再乘以一個y，
這不就是我們做第二次試根的時候的動作嗎？
還記得我們怎麼做的？
左邊是x，
上邊是x，
所以加一個x不就是2x了嗎？
然後我們把y直接寫在這個數字的右邊嘛，
因此其等效於2x這個數字往左移了一位，
往左移一位的意思就是×10嘛，
所以這時左邊的數字不就剛好是20x+y了嗎？
然後這個數字要乘以y嘛，
所以為什麼我們要找的數字是左邊跟上面必須一樣，
就是這個道理。
而此時上面的數字是什麼？
第一次試根的時後寫了x嘛，
第二次試根的時後在旁邊寫了y嘛，
所以實際上上面的數字就是10x+y了嘛！
這不就符合我們一開始定義的：根號a=10x+y了嗎？
根據上面找到的方程式，
a-100x^2=y(20x+y)，
因此整體算下來餘項必須是零。
如果餘項不是零就代表還沒找到真正的根，
但餘項越小（越接近零）的話至少可以認為答案是越接近的。
於是我們可以繼續尋找更接近的根。
上面說了，
試根的時候，
要找到一個未知數y，
令上面的數字是10x+y的形式，
而左邊是20x+y的形式，
且相乘等於餘項。
所以說，
這個x是幾位數其時無所謂，
等式都是成立的。
當x是一位數的時候我們已經證明過操作是正確的了。
現在如果當x是二位數的時候呢？
那就令x=10a+b，
那根就是10(10a+b)+y
而此是左邊數字應該要是20(10a+b)+y。
但我們在上一次試根的時候，
也就是寫b的時候，
左邊數字就已經是20a+b的形式了對吧？
所以在減積的時候我們再加一個b，
左邊數字不就變成20a+2b，
也就是2(10a+b)了嗎？
現在我們要找y了，
所以左邊數字就是多了一位+y，
這時左邊數字就會剛好是20(10a+b)y了。
換句話說，
每多試一位數的y後都要把y跟左邊數字相加，
這樣就可以一直維持左邊數字剛好是根的20倍，
這樣我們就能一直藉由找到下一個y來貼近真正的平方根。
【打法】
以上證明不論你看不看得懂，
總之他是對的，
就算不懂，
只要你會用就好。
那麼問題來了，
如何用算盤打呢？
這很難，
爆淦難，
所以學會了你超強，
學不會也不用太擔心。
可以的話，
我們準備兩支算盤；
如果不允許，
那麼就把算盤分成兩個區域來記錄會比較方便。
首先我們一樣，
先把預備開方的數打出來：
建議前面一定要多留兩位方便記錄。
Ａ：(0|0) (0|0) (0|3) (1|3) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (00388129)
接著在首位進行第一次估根。
首位是38，
因此估根結果是6。
Ａ：(1|1) (0|0) (0|3) (1|3) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (60388129)
此時在另一支算盤上打上我們的第一次估根：
Ｂ：(0|0) (1|1) (0|0) (0|0) (0|0) (06000)
接著回到Ａ算盤，
進行減積：6×6=36
同時Ｂ算盤在值上面再加上一次估根的結果：
Ａ：(1|1) (0|0) (0|0) (0|2) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (60028129)
Ｂ：(0|1) (0|2) (0|0) (0|0) (0|0) (12000)
接著回到Ａ算盤進行第二次估根。
此時要再抓兩位下來，
也就是說用281去估。
接著我們要找到一個數字X，
Ｂ算盤上顯示12，
因此要找到(120+X)X不大於281，
此時估計X=2：
Ａ：(1|1) (0|2) (0|0) (0|2) (1|3) (0|1) (0|2) (1|4) (62028129)
Ｂ：(0|1) (0|2) (0|2) (0|0) (0|0) (12200) 接著回到Ａ算盤，
進行減積：122×2=244
同時Ｂ算盤在值上面再加上一次估根的結果：+2Ａ：(1|1) (0|2) (0|0) (0|0) (0|3) (1|2) (0|2) (1|4) (62003729)
Ｂ：(0|1) (0|2) (0|4) (0|0) (0|0) (12400) 接著回到Ａ算盤進行第三次估根。
此時要再抓兩位下來，
也就是說用3729去估。
接著我們要找到一個數字X，
Ｂ算盤上顯示124，
因此要找到(1240+X)X不大於3729，
此時估計X=3：
Ａ：(1|1) (0|2) (0|3) (0|0) (0|3) (1|2) (0|2) (1|4) (62303729)
Ｂ：(0|1) (0|2) (0|4) (0|3) (0|0) (12430) 接著回到Ａ算盤，
進行減積：1243×3=3729
同時Ｂ算盤在值上面再加上一次估根的結果：+3Ａ：(1|1) (0|2) (0|3) (0|0) (0|0) (0|0) (0|0) (0|0) (62300000)
Ｂ：(0|1) (0|2) (0|4) (1|1) (0|0) (12460) 好的，
餘數為零了，
因此我們得到了平方根623得解。
其時在解平方根的時候，
位數其時不容易抓錯。
Ａ算盤你可以試著把解跟原數分別打在算盤的兩側，
反正你求跟的時候是從最高位數開始一路往右打下去，
因此你從最左邊開始打一定不會有問題。
而小數點的位置該怎麼定呢？
很簡單，
訣竅就是：你原數分成幾組，解的整數部分就是幾位數。
舉例來說，
如果你今天開一個數字假設是4129889，
你打到最後會出現2032212，
那小數點會在哪？
答案是2032.212的位置。
因為你分組會分成：4,12,98,89，
總共分成4組，
因此你的整數部分就是4個位數，
這樣應該就很好理解了吧。
那後面的.212是怎麼出來的呢？
其實很簡單，
就是你算出2032以後會得到餘項865，
此時你就再放小數後面兩位下來。
你說原數是整數沒有小數？
阿沒有小數就是0的意思啊懂嗎？
所以就是再用86500去求，
具體來說是這樣：
２ ０ ３ ２． ２ １ ２
２√ ４１２９８８９．００００００
２√ ４１２９８８９．００００００
２ ４
４０ ０１２
０ ０
４０３ １２９８
３ １２０９
４０６２ ８９８９
２ ８１２４
４０６４２ ８６５．００
２ ８１２．８４
４０６４４１ ５２．１６００
１ ４０．６４４１
４０６４４２２ １１．５１５９００
２ ８．１２８８４４
４０６４４２４ ３．３８７０５６
得解2032.212...3.387056
計算機驗算：
(2032.212)^2=4129885.612944
4129889-4129885.612944=3.387056
得解無誤。
有興趣的就自己拿算盤當練習吧，
沒興趣的……不強求www
【後記總結】
認真說，
算盤開平方根很複雜，不過平心而論，
算盤開平方根其時比起作商除法而言還更不容易出錯。
理由是，
解的位數只有原數的一半，
因此計算過程中解與原數的相對位置會越做越開，
這使的在打珠的過程更不容易打錯位。
其次，
小數點的位置也相對容易把握，
你看原數有幾位數，
那解的整數部分就直接減半就好，
所以也簡單。
至於減積雖然看似複雜，
但實際上跟商除法的減積過程是一樣的，
所以只要懂作法，
那麼做熟商除法的人就一定能做開平方根。
雖然如果你有電子計算機的話直接按就好了www
封面圖片：桌上遊戲《寵物與迷宮：屬性五重奏》插圖：戰女神密涅娃
圖不對文不行嗎？www
達人
