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如果要說大學(xué)生的共同惡夢(mèng)是微積分，那麼中學(xué)生的共同惡夢(mèng)大概就是三角函數(shù)了吧。
這篇文章專門針對(duì)「已經(jīng)準(zhǔn)備把學(xué)測(cè)數(shù)學(xué)的考試時(shí)間拿來睡覺」，或者是自認(rèn)為還沒有進(jìn)入狀況的人——其實(shí)你可以不用這麼早放手的。趁著學(xué)測(cè)倒數(shù)還沒有進(jìn)入最後 30 天，今天來帶大家快速複習(xí)三角函數(shù)吧。
。從相似形開始
過去三角函數(shù)一直被認(rèn)為是個(gè)恐怖又複雜的東西。實(shí)際上，在臺(tái)灣的舊課綱裡，三角函數(shù)曾經(jīng)被作為國(guó)中（中學(xué)三年級(jí)）數(shù)學(xué)課綱裡的一部分——也就是說，你現(xiàn)在完全可以把三角函數(shù)當(dāng)成國(guó)中數(shù)學(xué)來看待就好！這樣應(yīng)該看起來不會(huì)那麼恐怖了。
在正式進(jìn)入三角函數(shù)的環(huán)節(jié)以前，先來瞭解三角函數(shù)的意義。
我們都知道，如果把一個(gè)三角形的每條邊等比放大或縮小，那麼無論是這三條邊的比例或三個(gè)角的角度，都不會(huì)因此而改變：
既然如此，我們便不需要去在意三角形的實(shí)際三邊長(zhǎng)是多少，畢竟只需要用角度就可以知道這是一個(gè)什麼樣的三角形了。
然而，三角形的種類何其多，即使把每一種類型的三角形都定義出來了也不見得都能派上用場(chǎng)。因此，數(shù)學(xué)家也就只把最有代表性的直角三角形拿來使用了，三角函數(shù)的定義也就建立在直角三角形上面。
實(shí)際拿個(gè)直角三角形來看看吧！我們首先把目標(biāo)角設(shè)在左下、直角設(shè)在右下：
在三角函數(shù)的定義裡，分為斜邊、對(duì)邊、鄰邊。斜邊顧名思義就是直角三角形的斜邊；在目標(biāo)角對(duì)面的那一條邊，就稱為對(duì)邊；剩下那條和對(duì)邊相鄰的邊，就稱為鄰邊。
如果你的國(guó)中數(shù)學(xué)還沒有通通還給老師，你應(yīng)該會(huì)記得三個(gè)內(nèi)角為 30-60-90 的三角形邊長(zhǎng)比是
。也就是說，如果目標(biāo)角是 30° 的話，這個(gè)三角形的 a:c 會(huì)等於 1:2。
我們?cè)贀Q個(gè)例子：
要是今天目標(biāo)角為 45°，我們知道這種 45-45-90 的等腰直角三角形邊長(zhǎng)比會(huì)是
，也就是說這個(gè)三角形的 a:c 會(huì)等於 
。
這篇文章專門針對(duì)「已經(jīng)準(zhǔn)備把學(xué)測(cè)數(shù)學(xué)的考試時(shí)間拿來睡覺」，或者是自認(rèn)為還沒有進(jìn)入狀況的人——其實(shí)你可以不用這麼早放手的。趁著學(xué)測(cè)倒數(shù)還沒有進(jìn)入最後 30 天，今天來帶大家快速複習(xí)三角函數(shù)吧。
。從相似形開始
過去三角函數(shù)一直被認(rèn)為是個(gè)恐怖又複雜的東西。實(shí)際上，在臺(tái)灣的舊課綱裡，三角函數(shù)曾經(jīng)被作為國(guó)中（中學(xué)三年級(jí)）數(shù)學(xué)課綱裡的一部分——也就是說，你現(xiàn)在完全可以把三角函數(shù)當(dāng)成國(guó)中數(shù)學(xué)來看待就好！這樣應(yīng)該看起來不會(huì)那麼恐怖了。
在正式進(jìn)入三角函數(shù)的環(huán)節(jié)以前，先來瞭解三角函數(shù)的意義。
我們都知道，如果把一個(gè)三角形的每條邊等比放大或縮小，那麼無論是這三條邊的比例或三個(gè)角的角度，都不會(huì)因此而改變：
既然如此，我們便不需要去在意三角形的實(shí)際三邊長(zhǎng)是多少，畢竟只需要用角度就可以知道這是一個(gè)什麼樣的三角形了。
然而，三角形的種類何其多，即使把每一種類型的三角形都定義出來了也不見得都能派上用場(chǎng)。因此，數(shù)學(xué)家也就只把最有代表性的直角三角形拿來使用了，三角函數(shù)的定義也就建立在直角三角形上面。
實(shí)際拿個(gè)直角三角形來看看吧！我們首先把目標(biāo)角設(shè)在左下、直角設(shè)在右下：
在三角函數(shù)的定義裡，分為斜邊、對(duì)邊、鄰邊。斜邊顧名思義就是直角三角形的斜邊；在目標(biāo)角對(duì)面的那一條邊，就稱為對(duì)邊；剩下那條和對(duì)邊相鄰的邊，就稱為鄰邊。
如果你的國(guó)中數(shù)學(xué)還沒有通通還給老師，你應(yīng)該會(huì)記得三個(gè)內(nèi)角為 30-60-90 的三角形邊長(zhǎng)比是
。也就是說，如果目標(biāo)角是 30° 的話，這個(gè)三角形的 a:c 會(huì)等於 1:2。我們?cè)贀Q個(gè)例子：
要是今天目標(biāo)角為 45°，我們知道這種 45-45-90 的等腰直角三角形邊長(zhǎng)比會(huì)是
，也就是說這個(gè)三角形的 a:c 會(huì)等於 。再來看看第三個(gè)例子：
要是今天目標(biāo)角為 60°，我們知道這個(gè)三角形的 a:c 會(huì)等於
。三角函數(shù)就是為了快速表達(dá)這樣的關(guān)係而生。既然已經(jīng)知道只要目標(biāo)角不變的話，三條邊的比例也都會(huì)一樣，那麼我們就有了以下幾種定義：
正弦函數(shù)（sin，全稱為 sine）：對(duì)邊 a 和斜邊 c 的比值
餘弦函數(shù)（cos，全稱為 cosine）：鄰邊 b 和斜邊 c 的比值
正切函數(shù)（tan，全稱為 tangent）：對(duì)邊 a 和鄰邊 b 的比值
中文名稱不太重要，因?yàn)槲覀冎灰獙W(xué)會(huì)如何使用這個(gè)符號(hào)就好了，除非你認(rèn)為搭配中文名稱會(huì)讓你比較容易記住。綜合上面所講的，如果一個(gè)直角三角形的目標(biāo)角角度為 θ、對(duì)邊為 a、鄰邊為 b、斜邊為 c，那我們?cè)跀?shù)學(xué)上可以這樣表示：
所以，剛才提到的 a:c 這個(gè)比值，就是 sin θ 了?？梢哉f：
把剛才舉的三角形通通列出來，就會(huì)更清楚 sin, cos, tan 到底是怎麼得出：
所以說，三角函數(shù)不過就是個(gè)用來表示三角形特定邊長(zhǎng)比值的符號(hào)罷了，千萬不要因?yàn)榭吹搅擞⑽淖帜负拖ＥD字母就覺得這一定是個(gè)很困難的東西。
以臺(tái)灣的數(shù)學(xué)課綱來說，在常見的領(lǐng)域裡只需要知道 sin、cos、tan 這三種符號(hào)就好了，除此之外也有 cot（cotengent）、sec（secant）、csc（cosecant） 三種，但其實(shí)一點(diǎn)都不難記：只要看到名稱是 c 開頭的（co-，餘），那就是把對(duì)邊和鄰邊交換，例如 sin 是對(duì)邊除以斜邊，那麼 cos 就是鄰邊除以斜邊；tan 是對(duì)邊除以鄰邊，那麼 cot 就是鄰邊除以對(duì)邊；sec 是斜邊除以鄰邊；那麼 csc 就是斜邊除以對(duì)邊。
老樣子，多用就會(huì)了。你只要多用幾次 sin、cos、tan 函數(shù)，熟悉了就會(huì)自然記起來，不要總是依賴三角函數(shù)的定義表。
。三角恆等式
提到了直角三角形，畢氏定理就成了可以拿來利用的工具。如果我們想要在不同的三角函數(shù)之間轉(zhuǎn)換，那麼我們就可以使用三角恆等式來達(dá)成目標(biāo)：
我們知道 a2 + b2 = c2，只要把等式兩邊同時(shí)除以 c2，就會(huì)得到 sin2θ + cos2θ = 1。
千萬不要小看這個(gè)式子，我們可以把其中一項(xiàng)移到另一邊，然後再開根號(hào)，就可以直接得到 sinθ 和 cosθ 的關(guān)係了，我們甚至能夠兩邊同時(shí)除以 cos2θ 得到 tan2θ + 1 = sec2θ……諸如此類，就看你如何按需求去代換它而已。
。三角函數(shù)的用途
三角函數(shù)既然生於幾何，那當(dāng)然也會(huì)用於幾何。
比如說，現(xiàn)在有一顆球以 4.9 m/s 的初始速度、仰角 30° 斜斜地朝著天空飛去。如果我們想知道這顆球在過了幾秒以後會(huì)達(dá)到最高點(diǎn)，那麼我們就會(huì)需要知道這顆球在垂直方向的速度為多少。
就像前面所說的，sin 函數(shù)是對(duì)邊除以斜邊，既然如此，只要用斜邊乘以 sin 函數(shù)，就會(huì)得到對(duì)邊的長(zhǎng)度了。也就是說，仰角 30°、速度 4.9 m/s 的球，如果不看它飛多遠(yuǎn)、只看它飛多高的話，它就相當(dāng)於在垂直方向用 2.45 m/s 的速度往上拋：
既然知道這顆球是用 2.45 m/s 的速度往上拋，那麼依照重力加速度 g = 9.8 m/s2，我們可以知道經(jīng)過了 0.25 秒以後，這顆球的速度就會(huì)被地心引力減到 0（接著速度繼續(xù)往下扣，球就會(huì)從往上拋?zhàn)兂赏碌簦?，我們便得知了：「?jīng)過了 0.25 秒，這顆球就會(huì)來到最高點(diǎn)?！?br>
有的時(shí)候，或許我們不確定仰角是多少，那麼代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)就在這時(shí)候顯現(xiàn)出來了：我們可以直接利用 c?sinθ 從 c 得到對(duì)邊 a，之後再按照需求填入已知的變數(shù)就好了。把剛才的情境稍微簡(jiǎn)化一下，這樣你就得到了高中二年級(jí)（中學(xué)五年級(jí)）物理科目，用來求「斜拋運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)所花時(shí)間」的公式：
看吧，又美又簡(jiǎn)單（偷偷說：其實(shí)我高中二年級(jí)的物理課都在睡覺）。
當(dāng)然三角函數(shù)的應(yīng)用裡面，這算是最好懂的一種，其他稍微複雜一點(diǎn)的就會(huì)出現(xiàn)在複平面分析、傅立葉轉(zhuǎn)換之類的地方了，總而言之三角函數(shù)就是一個(gè)描述斜向、垂直、水平之間的關(guān)係所用的工具。
。廣義的三角函數(shù)、如何簡(jiǎn)化
到目前為止，我們探討的都是 0° < θ < 90° 的情況。如果三角函數(shù)只能用在這種銳角的直角三角形上面，那能做的事情就會(huì)少很多。數(shù)學(xué)家最喜歡做的事情，就是想辦法把定義擴(kuò)大到適用於所有情況，於是有了廣義的三角函數(shù)。
廣義的三角函數(shù)，就是探討目標(biāo)角 θ 超過 90° 以後的情況，這個(gè)時(shí)候主要會(huì)有下面幾種情形：
第一種情況，0° < θ < 90°。這種情況當(dāng)然沒有什麼好懷疑的，就跟我們前面所理解的內(nèi)容一模一樣，在目標(biāo)角對(duì)面的邊就是對(duì)邊、斜邊就是斜邊、鄰邊就是剩下的那一邊：
第二種情況，90° < θ < 180°。相對(duì)於前面所學(xué)的來說，這個(gè)情況比較特殊。雖然我們定義的 θ 是斜邊（圓半徑）逆時(shí)針?biāo)@的角度，但對(duì)邊的定義仍然是要以內(nèi)角為主：
要注意的是，上圖的鄰邊長(zhǎng)度是負(fù)數(shù)！上圖的鄰邊長(zhǎng)度是負(fù)數(shù)！上圖的鄰邊長(zhǎng)度是負(fù)數(shù)！因?yàn)楹苤匾哉f三次。這個(gè)東西既然拿到了座標(biāo)平面上，那麼這個(gè)長(zhǎng)度也就要遵循座標(biāo)平面的方向了：鄰邊在左半面的時(shí)候，它的長(zhǎng)度值就應(yīng)該要是負(fù)的。
更準(zhǔn)確地來說，廣義的三角函數(shù)，它的鄰邊和對(duì)邊是分別以這個(gè)圓周上的點(diǎn)的 x 座標(biāo)和 y 座標(biāo)來決定，既然它的 x 座標(biāo)是負(fù)的，那麼當(dāng)我們想計(jì)算它的 cos 函數(shù)的時(shí)候，鄰邊自然就要是負(fù)數(shù)了。
同理，我們探討第三種情況：180° < θ < 270°。這裡既然鄰邊在左半邊、對(duì)邊在下半面，那麼鄰邊跟對(duì)邊的數(shù)值都應(yīng)該要是負(fù)的：
最後一種情況，270° < θ < 360°。接下來你也應(yīng)該可以想像得到，基本道理其實(shí)全都一樣。我們就可以得到它應(yīng)該要這樣求出（鄰邊是正的、對(duì)邊是負(fù)的）：
既然弄懂了這樣的規(guī)則，那麼鄰邊、對(duì)邊到底何時(shí)是正的、何時(shí)是負(fù)的，這個(gè)當(dāng)然就不需要浪費(fèi)時(shí)間或力氣去記，畢竟只要自己在紙上打個(gè)十字畫一圈再把斜邊畫出來，馬上就可以得到答案了（注意：斜邊永遠(yuǎn)是正的）。
廣義的三角函數(shù)就是如此。由於這個(gè)目標(biāo)角 θ 是依照「從正 x 軸開始逆時(shí)針?biāo)@的角度」來定義，所以如果 θ 每繞 360° 就等於繞了剛好一圈，也因此當(dāng)你要求 sin 390° 的時(shí)候，也就等於在求 sin 30°。
。三角函數(shù)的函數(shù)圖形
上面一段提到，我們每繞 360° 就相當(dāng)於繞了一圈，那麼你應(yīng)該可以感受得到這個(gè)角度要多大就可以有多大，而且三角函數(shù)的值 sinθ、cosθ、tanθ、cotθ、secθ、cscθ 會(huì)隨著角度往上加而不斷地循環(huán)。
既然三角函數(shù)本身是函數(shù)，那當(dāng)然也可以畫成函數(shù)圖形。不過，一般而言三角函數(shù)並不會(huì)直接用我們平常慣用的角度（degree），而是使用「弧度」（radian）來表示。
我們知道，如果一個(gè)圓的半徑 r 乘上 2π，剛好就會(huì)得到整個(gè)圓的圓周長(zhǎng)度。所以，在弧度的表示法上，一個(gè) π 就相當(dāng)於 180°，我們也就可以把 sin 30° 這樣表示：
習(xí)慣上，我們要畫函數(shù)圖形的時(shí)候，目標(biāo)角的單位都會(huì)以弧度為主，像 y = sin x 的圖形就會(huì)是這樣：
仔細(xì)看的話不難注意到每 2π 為一個(gè)週期。下面這是 y = cos x 的圖形：
y = tan x 就長(zhǎng)得更奇怪了，因?yàn)樵谮吔?90° 或 180° 的時(shí)候，作為分母的鄰邊長(zhǎng)度幾乎是 0，也就造成了函數(shù)值出現(xiàn)趨近於無限的情況：
。反三角函數(shù)（選讀）
到目前為止，上面這些基本概念已經(jīng)足以讓你弄懂三角函數(shù)的本質(zhì)，並且開始準(zhǔn)備該章節(jié)的題目了。
不過，既然都講到了三角函數(shù)，就連同反三角函數(shù)也稍微帶過一下吧，這個(gè)在微積分的領(lǐng)域就有機(jī)會(huì)遇到了（特別是積分）。
反三角函數(shù)的概念很簡(jiǎn)單：既然三角函數(shù)是從角度求得指定邊長(zhǎng)的比例，那麼反三角函數(shù)就是從指定邊長(zhǎng)的比例求得角度。
比如剛才說的，既然有：
那我們反過來可以用反三角函數(shù) arcsin 從對(duì)邊和鄰邊的比例求回目標(biāo)角：
你也可以用上標(biāo) -1 來表示反函數(shù)（不建議使用，這很容易和
混淆）：
sin 的反函數(shù)是 arcsin，而 cos 的反函數(shù)是 arccos，其他的四種取名的規(guī)則也一樣是以此類推。
好，三角函數(shù)就這樣說完了。餘弦定理什麼的，都已經(jīng)算是裡面的細(xì)節(jié)，畢竟它實(shí)際做起來只是利用公式來計(jì)算，沒有什麼好說的，有做題目的話應(yīng)該不需要太頭痛才是。
——對(duì)了，你開始準(zhǔn)備學(xué)測(cè)了嗎？
