主題達人專欄

冷飯熱炒：從微分乘法律到分部積分法

解凍豬腳 | 2020-11-24 10:15:02 | 巴幣 4838 | 人氣 4520

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　　積分技巧可以粗略地分為三種：代換積分法、分部積分法、部分分式積分法。上禮拜我們講完了其中最基本的代換積分法，今天來講講分部積分法吧。

　　只要你會了微分乘法律，那你就已經(jīng)先掌握了八成的分部積分法了。其實分部積分法的核心概念也很簡單：「只要想要積分的對象剛好是微分乘法律的其中一項，而且另外一項剛好也可以積分的話，那就可以試圖湊出答案來了。」

。微分乘法律和分部積分法的關(guān)係

　　直接從範例做起的話聽來一定會很抽象，我們就先從原理講起吧。

　　如果你還沒有把微分乘法律忘光的話，你會知道對於一個兩樣東西相乘而得的項 fg，如果要將 fg 對 x 微分，會有：

　　如果我們把等號的左右兩邊再同時對 x 積分一次（等量公理允許我們這麼做），左半邊當然就會被還原為 fg 了（畢竟微分以後又積分），右邊則變成一個看起來複雜的積分式：

　　但是不用怕，既然微分加法律（減法律）告訴我們，「先相加再微分」和「先微分再相加」的結(jié)果是相等的，那麼積分也同樣適用：「先相加再積分」和「先積分再相加」的結(jié)果也應(yīng)該要是相等的。我們把等式左半邊的 dx 消除，同時把等式右半邊拆成兩個積分式：

　　然後簡化等式左半邊（其實左半邊可以寫成 ∫ 1 d(fg)，只是把 1 省略了），同時把右半邊可以相消的 dx 消除：

　　這就是分部積分法的公式由來了。不過一般教科書上習慣用 u 和 v 作為代換用的變數(shù)，移項一下：

。實際做做看

　　就拿上次所說的「只用代換法也無法解決的積分式」來當範例吧。如果有個積分式：

　　回顧剛才講的分部積分法的式子，對應(yīng)一下，如果要套用分部積分法的話，我們必須：

　　接著好好想想每一項應(yīng)該如何安排。

　　分部積分法裡面「uv」這項顯然不是問題，因為它不需要用到任何的積分，在代換過之後只需要無腦地把 u 和 v 相乘就可以得到了，所以這個 uv 先擺在一旁不用管也沒關(guān)係。

　　接下來最重要的問題在 u 和 dv：我們應(yīng)該令誰為 u？令誰為 dv？

　　思考一下，這個積分式裡面有三個項：x、

、dx。既然 dv 牽涉到「微小變動量」這檔事，那麼它一定會跟 dx 有關(guān)聯(lián)（因為 dx、dv 這種特殊的變數(shù)是透過微分才有可能得到的東西），所以這個 dv 要嘛應(yīng)該設(shè)為 xdx，要嘛應(yīng)該設(shè)為

，然後剩下的設(shè)為 u，這樣才能夠讓 udv 等於原式的

。

　　根據(jù)上面這些判斷，它會有兩種可能性，第一種可能就是：

　　第二行的 du 跟 v 是由第一行推出來的，要分解動作的話就是：

　　在

的情況下，因為

，所以等式兩邊同乘以 dx 得到

；在 dv = xdx 的情況下，等式兩邊同時積分，得到

，也就有

了。

　　先不要管第二種可能性是什麼，我們來嘗試第一種可能吧。既然都已經(jīng)得到 u、du、v、dv，那麼依照分部積分法，只要把每一項對應(yīng)上去：

　　Oops。情況似乎變得越來越複雜了，所以我們得到了「第一種可能性行不通」的結(jié)論，因為這麼繼續(xù)下去只會變得越來越複雜，永遠積不出結(jié)果來。

　　既然第一種可能失敗了，那來試試第二種可能：

　　剛剛的分解動作，它的觀念簡單來說就是：「如果要從 u 得到 du，那我們只要把 u 微分，然後再移項一下就會有結(jié)果；反之如果要從 dv 得到 v，我們只要把 dv 積分一次就可以還原出來了」。

　　照著分部積分法繼續(xù)做下去：

　　我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，拼湊出來的 ∫ vdu 這一部分是可以直接積分的。繼續(xù)做下去，我們得到最後的結(jié)論如下：

　　不要因為太過興奮而忘記加上待定常數(shù) C 了。

。LIATE 法則

　　從上面整個過程看來，我們可以感受到開頭「應(yīng)該令 u 為誰、令 dv 為誰」的這步操作，關(guān)係到我們最後能不能積出這個式子。如果使用了前面提到的第一種可能性，那積分出來的結(jié)果只會越來越複雜，因為我們嘗試的路徑?jīng)]有剛好讓另一邊的 ∫ vdu 剛好能夠積出結(jié)果來。

　　問題來了：考試時間總是有限的。如果我們想要少走一點冤枉路，那麼在這些可能性當中，到底有沒有辦法預先判斷「哪一條路才是對的」呢？

　　答案是：有，我們有「LIATE」的順序，可以判斷應(yīng)該優(yōu)先令 u 為誰：

　　L（Logarithm）對數(shù)函數(shù)，比如：log x、ln x

　　I（Inverse trigonometric）反三角函數(shù)，比如：arctan x、arcsin x

　　A（Algebraic）代數(shù)函數(shù)，比如：x3、5x2

　　T（Trigonometric）三角函數(shù)，比如：sin x

　　E（Exponential）指數(shù)函數(shù)，比如：

、