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凡事都是相對的。
我們知道，如果想要利用數學工具求得答案，時常要用到反向的運算來達成目的。比如說你現在 24 歲、你姊姊 27 歲，你想要知道你的年齡加上多少會等於姊姊的年齡，那你就要利用減法來得到 3（歲）；比如說你的戶頭存款有 250 元、你的同學存款有 7500000 元，你想要知道你的存款乘上幾倍會等於他的存款，那你就要利用除法來得到 30000（倍）。
冪運算也同理，我們需要一個針對冪運算來反向運算的工具。這篇算是為了接下來要講的對數微分法鋪路，我們今天就來講講所謂的對數函數 log 吧。
。複習冪運算
冪（ㄇㄧˋ）運算就是我們平常講的「次方」，而乘上的次方數，被稱為指數。
從加減乘除來看，我們知道乘法就是連續的加法：
5 × 3 = 5+5+5
那麼冪運算就是連續的乘法了：
53 = 5×5×5
我們還可以根據乘法擴展出指數的規律：
這些概念對於大部分的人來說都很熟悉，因為它就是個連續的乘法而已，當然我們也可以利用除法來推斷出：
一般來說我們知道如果一個正數不斷乘上某個大於 1 的數，那它增長的速度只會越來越快。
指數型增長有多可怕？假設現在培養皿裡面有一顆細胞，它每過 10 分鐘就會分裂一次，分裂出來的細胞還可以再繼續分裂下去。起初的 30 分鐘，1 顆變 2 顆、2 顆變 4 顆、4 顆變 8 顆，看起來還不算非常驚人，但經過了 5 個小時（30 次分裂），培養皿就從本來的 1 顆變成 10 億多顆細胞了！這種增長模式就是我們平常在說的「指數型成長」，寫成數學式子可以這樣表達：
反之，如果我們每天往一個裡頭已經有 2000 元的存錢筒投入 100 元，經過 30 天，裡面的錢也只不過是 5000 元而已——這樣每次增加一定量的增長模式就是「線性增長」，因為我們把它畫成函數圖形的時候會呈現一條直線。
。拆解冪次的工具：對數
就像剛才所說的：倘若現有一組線性的關係，因為它就只是一條單純的直線，我們通?？梢杂煤唵蔚募訙p乘除來拆解它、預測它——但涉及冪次運算的指數關係就不同了。為了把指數關係變得像線性關係一樣單純，數學家定義了「對數函數」，把指數直接提出來：
log 10 = 1（因為 10 是 10 的 1 次方）
log 100 = 2（因為 100 是 10 的 2 次方）
log 1000 = 3（因為 1000 是 10 的 3 次方）
log 10000 = 4（因為 10000 是 10 的 4 次方）
……
千萬不要覺得它很可怕，它只是一個函數，只不過把函數的名字取作 log 罷了。當我們遇上了指數增長的關係，我們就可以利用 log 函數來簡化運算。
。對數的用法
不過這還不是全部。
我們回歸到 log 的本質：既然 log 函數是用來計算 10 相乘的次數，也就是把「10 的連續乘法」轉換為「1 的連續加法」，那麼裡面的數字相乘，對於 log 函數的值的影響也只不過是加起來而已：
log(1000×100) = log[(10×10×10)×(10×10)]
= log 1000 + log 100 = 5
簡單來說：
log(AB) = log A + log B
有了這樣的特性，我們就可以把原先難以計算的指數提到 log 函數外面，最後變成線性的關係，就能夠以單純的加減乘除來計算。
不過，如果今天我們要求取的對象不是 10 的整數次方呢？100 是兩個 10 的乘積，那麼 200 呢？
這裡就要用到 log 的規律來解決了，我們可以得到：
log(200) = log(10×10×2) = log(10) + log(10) + log(2) = 2 + log(2)
也就是說：200 是 10 的 (2 + log 2) 次方。這裡的 log 2 表示的值，意思就是「10 的『log 2』次方會等於 2」。
經過數學家的計算，log 2 大約等於 0.30102999566，通常取到 0.301 就很夠用。換句話說，10 的 0.301 次方，大約等於 2——至於數學家是怎麼從 2 算出 0.301 的？不要問，這很複雜，可能會講到天黑。
這樣的概念可能很抽象，不過有了這些規律，我們就可以簡化很多計算流程。
直接實作吧。假設你的存款現在有 20000 元，每年會有 1.1% 的利息，像這樣以複利模式計息，經過 n 年以後，你的存款應該會是 
元。
元。 如果我們想要知道「不另外存錢進去的話，總存款何時會達到 22000 元」，那我們就可以根據問題列式：
接下來把式子整理過，兩邊同時除以 20000，右邊就變成了 1.1，接著再按照我們之前提到的等量公理：「在 A = B 的情況下，因為它們兩個本來就是相同大小的東西，所以必然有 log A = log B」：
就可以得到結果：「過了 9 年，你的總存款會達到（超越）22000 元?！?/font>
你會注意到，整個計算環節裡面最困難的地方就是求取 log 1.011 和 log 1.1 的值。一般來說在這算這類東西的時候，我們可以利用對數表（已經把常用 log 值計算好並且列出來的表）或者是直接從電腦利用計算機求取。
只要有了對數工具，像這樣的指數問題，就能直接把難以處理的指數提取出來成為係數，讓問題變得更簡單。即使今天本金的數量改成別的數字，我們仍然能夠循著同樣的模式快速地得出我們想要求取的東西。
不只這樣，我們日常中用到的聲音分貝單位、地震芮氏規模，它們的計算也用到了對數。地球上發生的不同地震能量差距可能非常大，所以科學家定義地震規模每相差 1.0，能量的釋放就相差「10 的 1.5 次方」倍（差不多是 32 倍）：
log E = 4.8 + 1.5M（E 為能量，M 為地震規模）
所以，規模 5.0 的地震和規模 9.0 的地震，它們之間的能量就相差了 1,000,000 倍了。用這種方法來表示地震的能量就會很好懂，人類也才不會陷入像七龍珠一樣「每個怪物的戰鬥力都爆表，但因為位數太多所以感受不到誰強誰弱」的情況。
。更多種類的對數
雖然我們已經很習慣用十進位來衡量一個數的大小，但有些時候也不是非要用 10 當標準不可。log 其實也可以拿其他的數字作為標準，比如說我們把標準訂為 3，就有：
我們讀作「log 以 3 為底的 81，等於 4」。
這意思就是，81 是 3 的 4 次方，所以我們把它取以 3 為底的 log，就會得到 4。如果今天我們取 
，會得到 1.46497352072……換句話說，3 的 1.465 次方大約等於 5。
，會得到 1.46497352072……換句話說，3 的 1.465 次方大約等於 5。
一般來說這個寫在下面作為基準的小數字 a 稱為「底數」，被取的數字 b 稱為「真數」，不特別去指定底數的話就是 10。
。自然對數
在微積分的相關領域裡，就不愛使用以 10 為底的 log 對數了。
數學家們曾經證明：
這樣一個式子最後會收斂到一個無理數 2.71828...（還沒學過 lim 符號的話可以看看《數學的極限：友達以上，戀人未滿》），這個常數被稱為「尤拉數」，一般來說我們會用小寫 e 來表示。它具有一些奇怪的性質，例如：
也就是說，
函數上每一點的值跟切線斜率正好都是 
，而這個特性也成了日後微積分學（特別是微分方程）裡被廣泛利用的工具。
函數上每一點的值跟切線斜率正好都是 ，而這個特性也成了日後微積分學（特別是微分方程）裡被廣泛利用的工具。 以 e 為底的 log 函數，我們記作 ln（讀作 natural log，注意是小寫 L 而不是大寫 i），意即：
可以發覺到，其實生活中還是有很多東西需要用到對數觀念的，只是看你要不要去深究它而已。也許你買菜用不到 log，但你把工作賺來的錢存進銀行的時候，對數就成了很方便的計算工具。
