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欸，這麼多篇微積分的文章，我都不知道要怎麼寫(xiě)開(kāi)場(chǎng)白了，直接切入正題吧。
。隱函數(shù)是什麼？
一般我們對(duì)於函數(shù)的認(rèn)知都是 y = f(x)，我們可以看到諸如：「y = x3sin x + 2 log 2x」、「y = 7x2 + 3」、「y = 2x2 + x」的型態(tài)，很明顯可以一眼看懂 y 變數(shù)是如何被 x 組成的。
但有些方程式裡，x 和 y 的關(guān)係不見(jiàn)得都是這麼簡(jiǎn)單。
比如，我們知道一個(gè)半徑為 5 的圓方程式是 x2 + y2 = 52，這條方程式因?yàn)闆](méi)有達(dá)到「輸入一個(gè)自變數(shù) x 只能得出一個(gè)應(yīng)變數(shù) y」這項(xiàng)原則（例如 x = 2 的時(shí)候，y 會(huì)有 
和 
兩種可能），所以我們不能說(shuō)它是我們認(rèn)知裡那種正常的函數(shù)。
和 兩種可能），所以我們不能說(shuō)它是我們認(rèn)知裡那種正常的函數(shù)。 不過(guò)，我們可以透過(guò)觀察發(fā)現(xiàn) x2 + y2 = 25 可以把上半部和下半部拆開(kāi)，變成兩個(gè)函數(shù)：
這種變數(shù)關(guān)係相對(duì)比較不明顯的、藏在方程式裡的函數(shù)，就是所謂的隱函數(shù)。
以這個(gè)圓方程式來(lái)說(shuō)，一般如果我們想要求得它的 
，那就變成要把上面拆出來(lái)的兩個(gè)函數(shù)分別微分：
，那就變成要把上面拆出來(lái)的兩個(gè)函數(shù)分別微分：
（然後另一個(gè)做相同步驟得到 
）
） 這樣微分的結(jié)果就會(huì)有兩種，表達(dá)起來(lái)非常麻煩。而且，這還已經(jīng)是比較好的情況了，因?yàn)樗鼉煞N情況是對(duì)稱(chēng)的，僅僅相差一個(gè)負(fù)號(hào)。
倘若……今天你只知道 x 和 y 之間的關(guān)係長(zhǎng)這樣：
那你也許會(huì)腦袋打結(jié)，不知道接下來(lái)該怎麼辦——因?yàn)槟氵€沒(méi)學(xué)會(huì)接受不完美。
。等號(hào)的意義
當(dāng)你想要從這種式子裡頭得到 ，並且以更通用的方法來(lái)表達(dá)它，你需要的是針對(duì)隱函數(shù)的一套微分方法。
，並且以更通用的方法來(lái)表達(dá)它，你需要的是針對(duì)隱函數(shù)的一套微分方法。 在這之前，我們來(lái)複習(xí)一下小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)課程的「等量公理」吧。
我們以前在學(xué)一元一次方程式的時(shí)候會(huì)知道，如果今天有個(gè)未知數(shù) x，你只知道把它乘上 4 倍以後減 18 會(huì)得到 22，我們可以寫(xiě)成以下的式子：
4x - 18 = 22
這個(gè)式子的意思是「4x - 18」這個(gè)東西和「22」一樣大，所以如果我們把這兩邊各加上一樣大的數(shù)，那它們兩個(gè)的結(jié)果仍然會(huì)一樣大，這就是等量公理。
我們從小到大寫(xiě)計(jì)算題的時(shí)候使用了無(wú)數(shù)個(gè)等號(hào)，卻總是把等號(hào)原來(lái)的意義晾在一旁而忘記了它有多重要——不過(guò)，我今天不是來(lái)教你一元一次方程式的。
如果今天已知 A 和 B 兩樣?xùn)|西相等，我們知道既然它們兩個(gè)一樣大，那如果把 A 乘上自己，然後把 B 也乘上自己，它們的結(jié)果還是一樣大：A2 = B2。至於各種加、減、乘、除也都同理，畢竟你把一樣大的數(shù)字做一樣的操作，當(dāng)然會(huì)獲得一樣的結(jié)果。
基於這些觀念，我們知道「A 移動(dòng)多少，B 就會(huì)移動(dòng)多少」（因?yàn)樗鼈兛偸窍嗟龋缘玫搅?dA = dB，那也就可以再推展到 
。
。 我們得到一個(gè)結(jié)論：等號(hào)兩邊同時(shí)微分，等式仍然成立。
。直接實(shí)戰(zhàn)！不要忘記該有的規(guī)則
前面講了兩大段，就是要讓你知道為什麼。有了前備知識(shí)以後，就會(huì)變得比較好理解之後的一切。如此一來(lái)，以後在你碰上進(jìn)階的課程（例如微分方程）的時(shí)候，比較能瞭解那些書(shū)本裡省略的過(guò)程到底是怎麼來(lái)的，不然通常考完就把基礎(chǔ)忘光了，到了下學(xué)期又跟重新開(kāi)始沒(méi)有兩樣。
先從簡(jiǎn)單的圓方程式 x2 + y2 = 25 開(kāi)始吧！我們來(lái)試著找找這條方程式的 。
。 其實(shí)隱微分的觀念非常簡(jiǎn)單，用一句話來(lái)概括就是「等號(hào)兩邊同時(shí)微分，然後把目標(biāo) 整理到一邊，就能得到答案」。
整理到一邊，就能得到答案」。 由於我們想要找的是 y 對(duì) x 的極小變化率 ，從分母可以注意到對(duì)象該是 x，所以我們對(duì) x 微分：
，從分母可以注意到對(duì)象該是 x，所以我們對(duì) x 微分：
微分加法律告訴我們，逐項(xiàng)微分也沒(méi)有問(wèn)題：
繼續(xù)做下去，得到：
這裡就會(huì)出現(xiàn)你的第一個(gè)疑問(wèn)：「這裡的 
是哪裡來(lái)的？」
是哪裡來(lái)的？」 是的，這件事情我們從第一次講微分連鎖律的時(shí)候就強(qiáng)調(diào)過(guò)，當(dāng)你在做微分操作的時(shí)候，一定要隨時(shí)注意：
1. 是誰(shuí)被微分？
2. 是對(duì)誰(shuí)微分？
我們把 x2 對(duì) x 微分，可以直接得到 2x；我們把 y2 對(duì) x 微分，因?yàn)槭菍?duì) x 微分而不是直接對(duì) y 微分，所以我們需要利用微分連鎖律，得到：
就是這麼來(lái)的。回到剛才的進(jìn)度，我們得到：
把有包含 的放到等號(hào)一邊，沒(méi)有包含 的放到另一邊：
的放到等號(hào)一邊，沒(méi)有包含 的放到另一邊：
整理得到最終答案：
這就是答案了，很簡(jiǎn)單吧。你會(huì)注意到 的組成同時(shí)有 x 和 y 的存在，而不是一般我們認(rèn)知裡的「只有 x 一種變數(shù)」的形式，這是隱函數(shù)無(wú)可避免的天生特性，畢竟隱函數(shù)裡變數(shù)之間的關(guān)係本來(lái)就錯(cuò)綜複雜，所以只要做到這一步就已經(jīng)算是大功告成。
的組成同時(shí)有 x 和 y 的存在，而不是一般我們認(rèn)知裡的「只有 x 一種變數(shù)」的形式，這是隱函數(shù)無(wú)可避免的天生特性，畢竟隱函數(shù)裡變數(shù)之間的關(guān)係本來(lái)就錯(cuò)綜複雜，所以只要做到這一步就已經(jīng)算是大功告成。。再來(lái)一題
我們就拿剛才舉到的 作為例子，試著找它的 ：
作為例子，試著找它的 ：
這看起來(lái)很複雜，其實(shí)原理都一樣。每次當(dāng)我們把一個(gè) y 的函數(shù)對(duì) x 微分的時(shí)候，由於 y 和 x 不是相同變數(shù)，所以就得再依照連鎖律多乘以一個(gè) 。
。 還有！不要顧著微分連鎖律而忘記微分乘法律了。我們把 x3y3 對(duì) x 微分的時(shí)候，同類(lèi)的各自分成一份（let f=x3, g=y3; D(fg) = gDf+fDg）就會(huì)變得很容易處理：
這就是隱函數(shù)的微分了。其實(shí)說(shuō)白了這篇只不過(guò)是多了一個(gè)「等式兩邊可以同時(shí)微分」的概念而已。我們只要懂得把含有 的項(xiàng)目整理到一邊、不含 的項(xiàng)目整理到一邊，接著再提取出來(lái)，基本上就能從大部分簡(jiǎn)單的隱函數(shù)得到 了。
的項(xiàng)目整理到一邊、不含 的項(xiàng)目整理到一邊，接著再提取出來(lái)，基本上就能從大部分簡(jiǎn)單的隱函數(shù)得到 了。 嗯，寫(xiě)這算式寫(xiě)到眼睛有點(diǎn)花了，我這就打電動(dòng)去。
祝你有個(gè)美好的星期六 
