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【線性代數 筆記】Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics ch3:從實用面來看線代

%%鼠 拒收病婿 | 2021-08-13 15:48:07 | 巴幣 1406 | 人氣 1077

前言:
此篇範圍約在《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》第三章,是已經離開巴哈的派大星教授贈與的。
為了跟蹤(x)他,我也開始用ig了,熟悉的人搜一下我的英文名字應該就找到了。

電子書 連結,歡迎一起讀。
適合:大概知道內積、外積、向量跟矩陣的程度

前置:
書中字體加粗的通常代表向量,小心別跟邊長搞混了。

向量 (Vector):
如果是像我一樣因為玩Unity才認識向量的,請把Unity 向量*向量的API忘記。
向量的操做只有:
  • 向量*純量
  • 內積
  • 外積
講到向量相乘可能會想到內積。

向量內積 Dot Product:
意義:兩個向量角度的差別。
(O)交換律
(O)結合律
PQ= |P||Q|cosθ

大家都知道畢氏定理在垂直時:c^2=a^2+b^2
當非90度時, 可用:
來源[1]
所以原式可以寫成

實用面:
除了熟悉的投影之外,可以用來檢測夾角大小。
夾角<90:PQ>0
夾角>90:PQ<0
夾角=90:PQ=0


向量外積 Cross Product:
P×Q= |P||Q|sinθ
意義:返回與P、Q垂直的第三軸。 可用來計算表面法線。
《The cross product of two three-dimensional vectors, also known as the vector product, returns a new vector that is perpendicular to both of the vectors being multiplied together. This property has many uses in computer graphics, one of which is a method for calculating a surface normal at a particular point given two distinct tangent vectors.》[0]
(X)交換律
(X)結合律

使用右手法則
若逆時針PQ的夾角<180,得正。
若逆時針PQ的夾角>180,得負。
若逆時針PQ的夾角=0,得0。

其他用處:
P×Q=該平行四邊形面積。
來源[0]

其他:
醜筆記:


矩陣乘法 Matrix Multiplication
(X)交換律
(O)結合律

可以想像成座標系統的轉換。
推薦看:

比較直接的算法:M1的row * M2的 column:
來源:[2]


倒置矩陣 (Transpose Matrix)


逆矩陣 Inverse Matrix
只有n*n的方陣才有逆矩陣(不一定每個都有)。
無逆矩陣的稱為「奇異矩陣(Singular)」,可了解為一旦用了這個矩陣跟其他矩陣進行操作,就回不去原本的矩陣了。奇異矩陣舉例:內容為0的方陣。

奇異矩陣皆線性獨立。

用處:
還原轉換操作。
例) 還原旋轉的操作。
(旋轉-90度後再旋轉90度=旋轉回原位)


行列式 Determinate
意義:取得線性變換後,原面積的縮放係數。
只有方陣可使用。
直接服用:

  • det(M1M2)=det(M1)det(M2)
  • 若M有一行0,則det(M)=0
  • det(奇異矩陣)=0


特徵值 Eigenvalue、特徵向量Eigenvector
特徵向量:被線性轉換後保持相同方向的向量。
特徵值:特徵向量線性轉換後的長度(magnitude)係數,常用λ表示。
det(λI-A)=0
意義:當λ為特定某個值使得det(λI-A)=0,表λI-A為奇異矩陣,意即無法返回的操作(例如降維度後便無法復原成原本的維度。)
概念請看:

推演、計算方式請看:

醜筆記:


補充:
雖然跟矩陣沒關係
複數(Complex number):複合的數,例(1-3x)。

虛數i:先定義i=(-1)^0.5。根號(-1)不存在,i^2=-1存在。

共軛 (Conjugate)
假設z=a+bi
共軛(z)=a-bi
共軛(z)=z照x軸的鏡射
用處:用於簡化複數的除法。



反射變化 Reflection Transformation
(影片)
負號放置的位置不同,就能用不同軸來反射圖形,好酷。

若det(M)<0
M是反射矩陣,且M與目前的左/右手定則方向相反。
若det(M)>0
M與目前的左/右手定則方向相同。



對角矩陣 Diagonal Matrix
用寫的比較好懂


正交矩陣 Orthogonal Matrix:
意義:一種基底座標的可逆旋轉操作。
若C是n*n的正交矩陣,則C的行是由orthonormal set組成。
orthonormal set:
每行向量長度=1、與其他行互相正交(點積其他行=0)

T(C)=C^-1
C的倒置矩陣 = C的逆矩陣

det(正交矩陣)只可能等於1或-1
det(正交矩陣)=1 表純旋轉
det(正交矩陣)=-1 表旋轉後反射(reflection)

用處:
基底座標X的轉換:




參考、引用文章:

我同學XD


後記:
等我這周讀完第四章再來講線性轉換。

學店??粕驗榘嗌系囊恍B事害應該教高中數學的課被浪費掉。後來只是因為好奇所以開始自學線代。感謝我同學、網路資源以及在巴哈跟我交流、勘誤的各位。




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留言

創作回應

シッコク
這本出到第三版了喔 有趣
2021-08-21 20:48:37
%%鼠 拒收病婿
原來是讀過的大佬嗎 >///< 請多多指教了
2021-08-24 18:14:25
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