主題
前言：
此篇範圍約在《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》第三章，是已經離開巴哈的派大星教授贈與的。為了跟蹤(x)他，我也開始用ig了，熟悉的人搜一下我的英文名字應該就找到了。
電子書 連結，歡迎一起讀。適合：大概知道內積、外積、向量跟矩陣的程度
前置：
書中字體加粗的通常代表向量，小心別跟邊長搞混了。
向量 (Vector)：
向量內積 Dot Product：如果是像我一樣因為玩Unity才認識向量的，請把Unity 向量*向量的API忘記。向量的操做只有：
- 向量*純量
- 內積
- 外積
講到向量相乘可能會想到內積。
意義：兩個向量角度的差別。(O)交換律(O)結合律
P．Q= |P||Q|cosθ
大家都知道畢氏定理在垂直時：c^2=a^2+b^2當非90度時， 可用：來源[1]所以原式可以寫成實用面：除了熟悉的投影之外，可以用來檢測夾角大小。夾角<90：P．Q>0夾角>90：P．Q<0夾角=90：P．Q=0
向量外積 Cross Product:
P×Q= |P||Q|sinθ意義：返回與P、Q垂直的第三軸。 可用來計算表面法線。《The cross product of two three-dimensional vectors, also known as the vector product, returns a new vector that is perpendicular to both of the vectors being multiplied together. This property has many uses in computer graphics, one of which is a method for calculating a surface normal at a particular point given two distinct tangent vectors.》[0]
(X)交換律(X)結合律使用右手法則若逆時針P到Q的夾角<180，得正。若逆時針P到Q的夾角>180，得負。若逆時針P到Q的夾角=0，得0。其他用處：P×Q=該平行四邊形面積。
其他：
醜筆記:
矩陣乘法 Matrix Multiplication
(X)交換律(O)結合律可以想像成座標系統的轉換。
推薦看：比較直接的算法：M1的row * M2的 column：來源：[2]
倒置矩陣 (Transpose Matrix)
逆矩陣 Inverse Matrix
只有n*n的方陣才有逆矩陣(不一定每個都有)。
無逆矩陣的稱為「奇異矩陣(Singular)」，可了解為一旦用了這個矩陣跟其他矩陣進行操作，就回不去原本的矩陣了。奇異矩陣舉例：內容為0的方陣。
奇異矩陣皆線性獨立。
用處：
還原轉換操作。
例) 還原旋轉的操作。
(旋轉-90度後再旋轉90度=旋轉回原位)
行列式 Determinate
意義：取得線性變換後，原面積的縮放係數。
只有方陣可使用。直接服用：
- det(M1M2)=det(M1)det(M2)
- 若M有一行0，則det(M)=0
- det(奇異矩陣)=0
特徵值 Eigenvalue、特徵向量Eigenvector
特徵向量：被線性轉換後保持相同方向的向量。特徵值：特徵向量線性轉換後的長度(magnitude)係數，常用λ表示。det(λI-A)=0
意義：當λ為特定某個值使得det(λI-A)=0，表λI-A為奇異矩陣，意即無法返回的操作(例如降維度後便無法復原成原本的維度。)
概念請看：推演、計算方式請看：醜筆記：
補充：
雖然跟矩陣沒關係複數(Complex number)：複合的數，例(1-3x)。虛數i：先定義i=(-1)^0.5。根號(-1)不存在，i^2=-1存在。
共軛 (Conjugate)
假設z=a+bi則共軛(z)=a-bi共軛(z)=z照x軸的鏡射
用處：用於簡化複數的除法。
反射變化 Reflection Transformation
M是反射矩陣，且M與目前的左/右手定則方向相反。
若det(M)>0
M與目前的左/右手定則方向相同。
對角矩陣 Diagonal Matrix
用寫的比較好懂
正交矩陣 Orthogonal Matrix：
意義：一種基底座標的可逆旋轉操作。
若C是n*n的正交矩陣，則C的行是由orthonormal set組成。
orthonormal set:
每行向量長度=1、與其他行互相正交(點積其他行=0)
T(C)=C^-1
C的倒置矩陣 = C的逆矩陣
det(正交矩陣)只可能等於1或-1
det(正交矩陣)=1 表純旋轉
det(正交矩陣)=-1 表旋轉後反射(reflection)
用處：
基底座標X的轉換：
參考、引用文章：
[0]Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics https://canvas.projekti.info/ebooks/Mathematics%20for%203D%20Game%20Programming%20and%20Computer%20Graphics,%20Third%20Edition.pdf
[1]The Laws of Cosines and Sines https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/trig/laws.html
[2]矩陣乘法 - 數學樂 https://www.shuxuele.com/algebra/matrix-multiplying.html
我同學XD
後記：
等我這周讀完第四章再來講線性轉換。
學店?？粕驗榘嗌系囊恍B事害應該教高中數學的課被浪費掉。後來只是因為好奇所以開始自學線代。感謝我同學、網路資源以及在巴哈跟我交流、勘誤的各位。
達人
