主題
辛苦爬上貝氏定理，但想解這問(wèn)題你會(huì)狠狠被踢下懸崖。。。
故事簡(jiǎn)述：這是一個(gè)電視節(jié)目，提供有三扇門(mén)給挑戰(zhàn)者選擇，一扇門(mén)後面是跑車(chē)，其餘兩扇門(mén)後面是山羊，門(mén)都長(zhǎng)一樣，開(kāi)門(mén)之後若為跑車(chē)就能將其帶走。一開(kāi)始挑戰(zhàn)者無(wú)法得知哪扇門(mén)後面是車(chē)子，當(dāng)挑戰(zhàn)者選定其中一扇門(mén)之後，主持人會(huì)直接刪除一扇後面是羊的門(mén)，此時(shí)會(huì)給挑戰(zhàn)者是否要換門(mén)的機(jī)會(huì)，請(qǐng)問(wèn)換了門(mén)之後機(jī)率會(huì)變嗎？
詳細(xì)故事可以搜尋 YouTube: 決勝21點(diǎn) 或 搜尋「科學(xué)Online: 蒙提霍爾問(wèn)題（一）決勝21點(diǎn)」
相信經(jīng)過(guò)高中升學(xué)摧殘的你也在段考中姐過(guò)這個(gè)問(wèn)題，網(wǎng)路上也很多種觀點(diǎn)的解法(下文會(huì)附上連結(jié))，但目前網(wǎng)路上很難找到真正使用貝氏定理的解法，因此本文最後會(huì)提供本人完整使用貝氏定理解題的思考過(guò)程。
解法零：《決勝21點(diǎn)》
本人只看過(guò)電影片段，但劇情中主角似乎智商過(guò)人，聽(tīng)教授解釋完題目之後瞬間得出答案，並說(shuō)自己是根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)，根本輾壓觀眾的智商。然後劇中還提到什麼變異數(shù)，恩......，看來(lái)我統(tǒng)計(jì)學(xué)是白修了，到底公三小？
解法一：直觀簡(jiǎn)單暴力條列法
大意：直接把三種門(mén)選擇的情況都討論一遍，最後整理中獎(jiǎng)機(jī)率，並解釋如何理解這樣的結(jié)果。
解法二：條件機(jī)率
來(lái)源：科學(xué)Online 高瞻自然科學(xué)教育資源平臺(tái)，蒙提霍爾問(wèn)題（一）決勝21點(diǎn)，https://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/?p=47158
說(shuō)明：雖然文章中說(shuō)是使用貝氏定理，但仔細(xì)看其實(shí)比較像是古典機(jī)率+決策樹(shù)+條件機(jī)率，連貝氏定理的公式都沒(méi)帶到，當(dāng)然貝氏定理其實(shí)就是條件機(jī)率的一種變形，但總覺(jué)得不太服氣就是了。
方法大意：用決策樹(shù)的方式來(lái)討論所有可能結(jié)果，其中將「一開(kāi)始選到車(chē)或羊」與「是否要換門(mén)」看作連續(xù)事件，因此最後機(jī)率是連乘。分析所有結(jié)果之後，利用條件機(jī)率 P(中車(chē)|選擇不換門(mén)) 與 P(中車(chē)|選擇換門(mén)) 來(lái)解出答案。文中也額外討論了 P(中車(chē)) = 1/2 的原因。
解法三：貝氏定理 (本人提供，印象中高中數(shù)學(xué)老師也是這樣解)
前言：待會(huì)用到的貝氏定理公式為 P(H|E) = [P(H)P(E|H)]/P(E) = [P(H)P(E|H)]/[P(H)P(E|H)+P(~H)P(E|~H)] ，若您想要複習(xí)何謂貝氏定理 或是 想知道這些符號(hào)的意思，請(qǐng)先觀看這個(gè) 15 分鐘的有趣數(shù)學(xué)動(dòng)畫(huà)：YouTube，3Blue1Brown，Bayes theorem。
解 - 選擇不換門(mén)的情況：
令 H 為「打開(kāi)門(mén)是車(chē)子」的事件
令 ~H 為「打開(kāi)門(mén)是山羊」的事件
令 E 為「主持人刪去一扇是羊的門(mén)，而挑戰(zhàn)者選擇不換門(mén)」的條件事件
[Prior 事前機(jī)率] (已知) P(H): 起初打開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率，顯然為 1/3
(已知) P(~H): 起初打開(kāi)門(mén)是山羊的機(jī)率，顯然為 2/3
(待算) P(E): 這並不是指刪去一扇門(mén)的機(jī)率，也不是要不要換門(mén)的機(jī)率。這是刪門(mén)之後，開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率與開(kāi)門(mén)是山羊的機(jī)率的和。P(E) = P(H)*P(E|H) + P(~H)P(E|~H)。
[Posterior 事後機(jī)率] (待算) P(H|E): 刪門(mén)之後，打開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率。
[Likelihood 似然(?)] (計(jì)算) P(E|H): 選擇不換門(mén)的機(jī)率 * P(H) / P(H) = 1/2 * 1/3 * 3 = 1/2 ( P(E交集H)，因?yàn)?E 與 H 是獨(dú)立事件，所以 P(E交集H) = P(E) * P(H) = 1/2 * 1/3 )
(計(jì)算) P(E|~H): 選擇不換門(mén)的機(jī)率 * P(~H) / P(~H) = 1/2 * 2/3 * 3/2 = 1/2
P(E) = 1/3 * 1/2 + 2/3 * 1/2 = 1/6 + 1/3 = 1/2
P(H|E) = [1/3 * 1/2] / (1/2) = 1/6 * 2 = 1/3
小結(jié)：P(H) = 1/3、P(H|E) = 1/3 選擇不換門(mén)，機(jī)率沒(méi)有改變
解 - 選擇換門(mén)的情況 (其實(shí)90%與剛才的計(jì)算相同，只有最後計(jì)算 Posterior 需要更動(dòng))：
令 H 為「打開(kāi)門(mén)是車(chē)子」的事件
令 ~H 為「打開(kāi)門(mén)是山羊」的事件
令 E 為「主持人刪去一扇是羊的門(mén)，而挑戰(zhàn)者選擇換門(mén)」的條件事件
[Prior 事前機(jī)率] (已知) P(H): 起初打開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率，顯然為 1/3
(已知) P(~H): 起初打開(kāi)門(mén)是山羊的機(jī)率，顯然為 2/3
(待算) P(E): 這並不是指刪去一扇門(mén)的機(jī)率，也不是要不要換門(mén)的機(jī)率。這是刪門(mén)之後，開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率與開(kāi)門(mén)是山羊的機(jī)率的和。P(E) = P(H)*P(E|H) + P(~H)P(E|~H)。
[Posterior 事後機(jī)率] (待算) P(H|E): 刪門(mén)之後，打開(kāi)門(mén)是車(chē)子的機(jī)率，注意！在 E 的條件下，H與~H要互換。
[Likelihood 似然(?)] (計(jì)算) P(E|H): 選擇不換門(mén)的機(jī)率 * P(H) / P(H) = 1/2 * 1/3 * 3 = 1/2 ( P(E交集H)，因?yàn)?E 與 H 是獨(dú)立事件，所以 P(E交集H) = P(E) * P(H) = 1/2 * 1/3 )
(計(jì)算) P(E|~H): 選擇不換門(mén)的機(jī)率 * P(~H) / P(~H) = 1/2 * 2/3 * 3/2 = 1/2
P(E) = 1/3 * 1/2 + 2/3 * 1/2 = 1/6 + 1/3 = 1/2
[注意這裡有變化] P(H|E) = P(H) * P(E|H) / P(E) = 在 E 的條件下，H與~H要互換，因此此處 P(H) 應(yīng)代入 P(~H)、P(E|H) 應(yīng)代入 P(E|~H) = [2/3 * 1/2] / (1/2) = 1/3 * 2 = 2/3
小結(jié)：P(H) = 1/3、P(H|E) = 2/3 選擇換門(mén)，機(jī)率機(jī)率提升
總結(jié)：根據(jù)貝氏定理，選擇換門(mén)則中獎(jiǎng)率會(huì)提高至 2/3
