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驚人的總和:1+2+3+4+5+…+∞=?

翼は夢、そして空へ | 2014-05-12 14:51:22 | 巴幣 2438 | 人氣 45107

由1加到10=55、由1加到100=5050、由1加到1000=500500,那麼由1加到∞會是多少呢?答案會是無限大嗎?




善意提醒:
  1. 本文是關於數學的文章,對數學有恐懼者建議直接按「」退出XD
  2. 本文的排版在手機板可能會大亂,建議在PC瀏覽氣上閱讀

昨天在youtube上看了一隻關於數學的有趣影片:驚人的總和,內容主要是討論由1開始,依序將整數往上相加,直至無限大(∞)為止,最終會得到什麼答案!


由1加到無限大,答案難道不是無限大嗎?


原本個人也是這麼思考的,不過看完這隻影片,個人瞬間明白為何它的標題要取名為「驚人的總和」了,因為最後的答案和自己想的竟然天差地遠,然而中間的計算邏輯卻又有其道理。

影片中採用了相當簡單且快速的證明方式,而且僅需要高中程度的數學能力即可充分理解證明的推演過程,在此分享給各位。

總之,請各位先看看下頭的影片吧(請開字幕):

▲ 驚人的總和(內含中文字幕)

影片中負責進行推演的學者 Tony Padilla(以下簡稱:Tony)是英國諾丁漢大學的副教授,他一開始就開宗明義地告訴大家:「答案是-1/12!


▲ 嗯?教科書上確實是這麼寫的!


相信很多人聽到他這麼說,心裡一定大喊:「這怎麼可能?」吧!

由1加總到無限大,明明每個數字都大於0,最後的結果卻是一個小於零的分數?這很顯然是不合理,也不符合科學的。然而Tony卻告訴觀眾,這個答案不但合理,甚至已經被寫入弦理論(String theory)的教科書內。

雖然證明此結果的正式方式應該要使用黎曼(Zeta)函數,但畢竟這是一隻科普影片,因此Tony故意採用了一個較不嚴謹,卻相對簡單易懂的方式來證明,希望讓觀眾都能輕鬆入門。


因此,影片的主要內容,就是透過簡單的數學推論,來導出問題的答案!


首先, Tony 假設了以下三個不同的數列(分別稱為12,以及):

1=1-1+1-1+1-1+…(持續至無窮項)

21-2+3-4+5-6+…(持續至無窮項)

2+3+4+5+6+…(持續至無窮項)

很顯然地,是我們所關心的問題,而另外兩個數列則是用來求解的過程中需要用到的工具,一旦能解開12便能迎刃而解。




那麼,就先來看看1吧!

1=1-1+1-1+1-1+…

很多人看到這個問題,直覺會認為答案應該是「0」,因為:

1=(1-1)+(1-1)(1-1)+…
   =( 0 )+( 0 )( 0 )+…
 
如果像上頭一樣把所有的-1全部用括弧分組,那麼每組括弧裡剛好可以正負相抵,最後1的答案是然而,我們也可以把括弧的位置調整一下,那麼1將可以寫成下頭的形式:

1=1+(-1+1)+(-11)(-11)
   =+(   )   )   )


咦!?原本答案應該是「」的計算式,瞬間變成了「」!


關於這個現象,Tony告訴我們:「關鍵是我們停在奇數位或是偶數位!」如果我們在偶數位停止加總,則1的答案會變成第一種情況();如果在奇數位停止加總,那麼1的答案會變成第二種情況()。


問題是,當我們打算加總到無窮項的時候,究竟該算是基數還是偶數呢?


Tony說:「不知道是奇數還是偶數,那就加起來取平均吧!所以答案是0.5


不知道這個說法?大家是否可以接受呢?



▲ 不知有多少人的心情是這種寫照呢?


因為不確定是0或是1,就取平均值當答案,這未免太隨便了!」相信有這種想法的人應該不少,不過如果10.5的結果不成立,那麼接下來的推演就無法繼續下去了!

事實上,要證明這個結果,除了用取平均的方式外,還有其他的方式喔(而且至少存在兩種以上的方法),以下再提供「 Tony 解法」外的第二解法。

另一種
1的解法如下:

首先,用1減去1

1-11-1-1+1-1+1-1+…
     -   1+1-1+1-1+1+
     1

 1
  10.5

上述的推演方法是原影片中提到的另一支影片所介紹的,個人覺得比 Tony 提到的平均計算方式更加有說服力(雖然結果其實是相同的)。除了這兩種方式外,也還存在其他證明方式,總之1=1/2應該是沒有太大疑問的。



接著我們來看2,這邊Tony採用了一個有點技巧性的解法:

首先,這是
2

21-2+3-4+5-6+…

那麼,這是兩倍的2,而Tony把第二個2 往後順延一格,即〔〕中的內容:

222
    1-2+3-4+5-6+…
          1-2+3-4+5-6+…

如果把兩列的縱向數字(標記成同色以方便比較)直接相加:

2S2=S2+S2
    =-2+3-4+5-6+…
          +〔-2+3-4+5-6+…〕
    =-1+1-1+1-1+1

看到「
1-1+1-1+1-1+1」,那不就是上頭出現過的1嗎?

於是乎:

2  =1-1+1-1+1-1+1
      1
      =1/2

→ 2  =1/4

透過一些小技巧,我們可以順利推求出
2  =1/4




最後,終於到關鍵的了,這次Tony一樣使用了小技巧,從「2」出發:

2    2+3+4+5+6+…
     
-〔1-2+3-4+5-6+…
    =     +0+8+0+12+…

減去2時,由於兩個數列的奇數項是一致的,相減後為0;偶數列的數字相等,但正負號相反,相減後變為兩倍,因此變成「4、8、12」以4逐漸增加的等差級數。在此,如果把提到外頭:

24〔  1+  2+   3+… 

咦,括弧中的「1+2+3+…」不就是自身嗎,然又2  =1/4,因此:

2

 3S=-S2-1/4
→  -1/12

→  2+3+4+5+6+…-1/12

就這麼簡單地,我們證明了由1開始逐漸向上累加,最後的結果為-1/12


如何?是否有點微妙的感覺呢?

認為不該是這個答案,卻又覺得上頭的推演方式沒啥問題嗎?


話說,依據Tony的方法,還有其他更高階的證明方式,只是該影片是科普走向,所以他才採取了用簡單的數學就能證明的方式進行解說!




由於個人對於近代物理的領域涉獵不深,大概也只能解說數學的部分了,至於影片中提到這個公式在許多地方都有派上用場,究竟是哪裡呢?


我也很想知道,希望之後能有其他的介紹影片啊!


創作回應

小哈
而且 S1或S2一樣可以用阿貝爾求和得出
影片中只是把複雜的公式
用直覺性的方式呈現給一般沒有對數理有深度探討的觀眾
沒有必要在評論裡森77的說他污衊你的數學污衊你的物理吧
2018-12-16 06:10:09
翼は夢、そして空へ
哈哈哈,感謝補充。雖然語氣很衝,但算是本著物理的熱忱的發言,我不討厭啦!
2018-12-16 10:10:43
樸英奎
解析延拓以後 多出來的定義域

我不喜歡影片中的證明
我覺得科普不可以這麼做
這樣可以亂證
1+2+3+4+.... = -1/12
1+(1+1)+(1+1+1)+(1+1+1+1)+...... = -1/12
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ = -1/12
2019-03-20 17:37:42
1313
詭異的點是第一點是極限數學定義證明是對的
再來第二第三步就已經不存在了 因為正整數四則運算
不會有分數 更不會有1/2這種
2019-09-12 00:55:05
毛俊平
怎麼加的加成負數?整數變分數,偏偏還是12這個3的倍數,一定是光明會的陰謀!! (BGM響起
2021-01-18 21:04:11
希望天使神選川普
前面都能夠理解 但後來的 得出S2=1/4後
S-S2=4S (又因為S2=1/4)

→ 3S=-S2=-1/4
是怎麼變成這樣的的?雖然直接用-1/12代入S可以算出來
想了解一下
唯一這點還在想辦法理解
2022-04-02 12:48:49

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