反正就只是個人興趣

花了點時間打完了




證明:無理數比有理數多
在證明這個之前我們必須下幾個定義
定義1:有理數是指可以化作a/b的數,a,b皆為整數,且b不等於0
定義2:無理數是指所有不是有理數的實數
定義3:一個集合可數是指集合裡面的數可以和自然數做1對1對應
例如偶數 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 .......

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .......
2可以配1,4可以配2,6可以配3,8可以配4...
所以偶數就是可數

證明1:兩個可數的集合聯集之後還是可數的

設2個集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B皆為可數
也就是
A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...

1 2 3 ... 1 2 3 ...

那麼A,B聯集為{a1,b1,a2,b2,a3,b3...}
則可對應
a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...

1 2 3 4 5 6 ...

也就是A,B聯集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...}為可數 Q.E.D

證明2:有理數是可數的

從定義1,有理數可以化成a/b,a,b皆為整數,且b不等於0,將它化成集合C=(a,b)
因為a為整數,所以a很明顯是可數的
因為b為不為0的整數,所以b很明顯是可數的
設a=1,我們可以得到一個新集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}
因為b是可數的,所以Ca很明顯也是可數的
設b=1,我們可以得到一個新集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}
因為a是可數的,所以Cb很明顯也是可數的
又Ca聯集Cb為C,且Ca是可數的,Cb也是可數的,根據證明1,C也是可數的
也就是a/b是可數的,換句話說有理數是可數的 Q.E.D

證明3:實數是不可數的

設H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h...皆是正整數,並且介於1和8之間
也就是假設a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...
則H=0.42347635...

假設0和1之間的所有實數是可數的
設它的集合X={x1,x2,x3,...}
我們可以把它排成x1 x2 x3 x4 x5 ....

1 3 3 4 5 ....

現在
設a和x1的小數點第一位數不同
設b和x2的小數點第一位數不同
設c和x3的小數點第一位數不同
.
.
.

(1)H是一個實數,且小數點後面的數目皆為1到8之間的自然數
也就是H不可能為0.0000000....=0 或者 0.999999999999...=1
所以H位於0和1之間
(2)因為a和x1的小數點第一位數不同
b和x2的小數點第一位數不同
c和x3的小數點第一位數不同...
所以H不可能出現在X這個集合裡面,也就是H不可能位於0和1之間

根據(1),H在0和1之間,根據(2),H不在0和1之間,這是很明顯的矛盾
所以我們的假設0和1之間的所有實數是可數的錯誤,因此它是不可數的
因為不可數的集合必定還是不可數
可以推導出實數是不可數的 Q.E.D

證明4:無理數是不可數的

根據定義1和2,實數可以分為有理數跟無理數
現在有理數是可數的(根據證明2),實數是不可數的(根據證明3)
所以無理數必定不可數 Q.E.D

證明:無理數比有理數多

根據證明4,無理數不可數,有理數可數,所以無理數必定比有理數多 Q.E.D








反正就是謎阿...