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[達(dá)人專欄] 把函數(shù)畫(huà)成圖形,讓它變得有意義

作者:解凍豬腳│2020-10-04 09:26:54│巴幣:152│人氣:3718
 
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  上次我們提到了何謂函數(shù),以及如何定義函數(shù)。實(shí)際上,如果我們僅僅是把函數(shù)化成代數(shù)來(lái)操作,那對(duì)於需要使用函數(shù)的人來(lái)說(shuō),還是很抽象、不易於理解(更不用說(shuō)向人解釋)的:

  「如果我想知道函數(shù)的值如何變化,我該怎麼做?」
  「如果我只是想知道函數(shù)的值會(huì)大概落在哪裡,我該怎麼做?」
  「如果我想知道函數(shù)有沒(méi)有可能到達(dá)某處,我該怎麼做?」

  這種問(wèn)題,我們可以試著把函數(shù)畫(huà)成圖形,透過(guò)視覺(jué)化的方式來(lái)解決。不過(guò)在這之前,不免還是要從基礎(chǔ)講起。


。數(shù)線

  我們?cè)谌粘I钪锌梢越佑|到、可以被理解的概念,稱作「實(shí)數(shù)(real number)」,一般用大寫(xiě)的 R 來(lái)表示。比如說(shuō),你的櫃子裡有兩包餅乾(2)、你牆上時(shí)鐘的圓周長(zhǎng)度相當(dāng)於 π 倍的直徑(π ≈ 3.14159...)、你地上正方形磁磚的對(duì)角線長(zhǎng)度是邊長(zhǎng)的 √2 倍(√2 ≈ 1.41421...)、你的女朋友有零個(gè)(0)、你只有負(fù)債 5 元而沒(méi)有存款(淨(jìng)資產(chǎn) -5),這些全都是實(shí)數(shù)的一種。

  因?yàn)檫@些數(shù)字都有相對(duì)的大小關(guān)係,能夠互相比較(-5 < 0 < √2 < 2 < π),所以我們也可以畫(huà)一條線,像把尺一樣畫(huà)上等距的刻度,再把這些數(shù)通通標(biāo)在線上:


(工具:GeoGebra 網(wǎng)頁(yè)版)

  上述方法是由笛卡爾(沒(méi)有錯(cuò),提出「我思故我在」的那個(gè)笛卡爾)發(fā)明的。這樣的好處在於誰(shuí)比誰(shuí)大一目了然,而且只要把其中兩個(gè)點(diǎn)直直連起來(lái),就能根據(jù)線段的長(zhǎng)度得知兩個(gè)數(shù)相差多少,這種一維的參考系,稱為「數(shù)線」。


。座標(biāo)平面和函數(shù)圖形

  這玩意當(dāng)然也不是只能這麼單純。我們只要把兩條數(shù)線以 90° 的直角組合起來(lái),就能夠成為一個(gè)座標(biāo)平面,讓數(shù)線上的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一條數(shù)線:


(工具:GeoGebra 網(wǎng)頁(yè)版)

  這樣,任何一對(duì)實(shí)數(shù)都可以對(duì)應(yīng)到平面上的一個(gè)點(diǎn),比如我挑五組數(shù)字,分別取名為 A、B、C、D、E:
  A (1, 3)
  B (3, 2)
  C (-3, -1.5)
  D (-5, 3)
  E (4, -2)

  標(biāo)在座標(biāo)平面上就會(huì)是這樣:



  習(xí)慣上,我們會(huì)把橫軸設(shè)為 x 軸、縱軸設(shè)為 y 軸,所以我們可以說(shuō) A 點(diǎn)的 x 座標(biāo)是 1、y 座標(biāo)是 3,其他點(diǎn)也都同理。

  利用座標(biāo)平面,我們已經(jīng)可以應(yīng)付大部分的簡(jiǎn)單需求了。拿上次的攝氏-華氏溫度轉(zhuǎn)換關(guān)係函數(shù)來(lái)作例:


  計(jì)算 f(50) 得到 122,就能得知 50℃ = 122℉;計(jì)算 f(10) 得到 50,就能得知 10℃ = 50℉。我們把 x 座標(biāo)當(dāng)作攝氏溫度、y 座標(biāo)當(dāng)作華氏溫度,就能得到 (50, 122) 和 (10, 50) 兩個(gè)座標(biāo)平面上的點(diǎn)。

  試著再多抓幾個(gè)點(diǎn),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)總是落在同一條直線上:



  我們?cè)诟咧幸荒昙?jí)(中學(xué)四年級(jí))的第一堂數(shù)學(xué)課裡,通常會(huì)學(xué)到實(shí)數(shù)具有「稠密性」,也就是說(shuō)「在任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間一定可以找得到另一個(gè)實(shí)數(shù)」,所以 0 和 1 中間找得到 0.5、0 和 0.5 中間找得到 0.25、0 和 0.25 中間找得到 0.125……

  基於以上兩件事,我們會(huì)注意到這些點(diǎn)都是連貫的。接著把這些點(diǎn)連起來(lái),成為一條連續(xù)的線——由這無(wú)限多個(gè)點(diǎn)所組成的線圖,就是 的函數(shù)圖形了,線上的每一個(gè)點(diǎn)都是函數(shù)的 (x, y) 的對(duì)應(yīng)關(guān)係。

  當(dāng)然函數(shù)圖形也可以是曲線,例如 y = x2 + 3:



  上圖的任一點(diǎn)的 (x, y) 都符合 y = x2 + 3 的關(guān)係。

  函數(shù)圖形也可以是半圓形,例如



  上圖的任一點(diǎn)都符合
的關(guān)係。

  函數(shù)圖形也可以是有規(guī)律的週期函數(shù),例如 y = sin(8x):



  上圖的任一點(diǎn)都符合 y = sin(8x) 的關(guān)係。

  有了函數(shù)圖形,我們就可以一眼看懂函數(shù)的各個(gè)變數(shù)之間的關(guān)係了。因?yàn)楹瘮?shù)圖形代表的意義本來(lái)就是「能夠符合這條函式的每一組 (x, y)」,所以我們才能透過(guò)「兩個(gè)函數(shù)圖形是否有交點(diǎn)」得知是否有任何一組 (x, y) 的值同時(shí)符合兩個(gè)函數(shù),其他還有各式各樣的應(yīng)用(微積分的根本!),可以說(shuō)是用途多多。


。座標(biāo)空間

  既然有了一維數(shù)線、二維平面,那理所當(dāng)然地也可以再把無(wú)限多個(gè)二維平面加上一條數(shù)線堆疊起來(lái),把它擴(kuò)展到三維空間:


(工具:GeoGebra 網(wǎng)頁(yè)版)

  要表示空間裡的一個(gè)點(diǎn),我們可以用 (x, y, z) 來(lái)表示。不過(guò)畢竟這是立體的東西,實(shí)在難以單用幾張圖例來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的實(shí)際位置,所以這個(gè)大家只要稍微知道一下就好。

  這每一個(gè)相互獨(dú)立的參數(shù)(x 座標(biāo)、y 座標(biāo)、z 座標(biāo)),都是一個(gè)「維度」。我們現(xiàn)實(shí)生活所能見(jiàn)到的一切,都在三維空間(左右、前後、高低)之中,如果再加上一個(gè)維度的話,通常就沒(méi)辦法被理解。


。數(shù)線組合起來(lái)最多只能擴(kuò)展到三維空間嗎?

  並不是這樣。這些 x、y、z 說(shuō)穿了都只是相互獨(dú)立的參數(shù)而已,並不會(huì)因?yàn)槲覀兩碓谌S空間而只能有三個(gè)參數(shù)。有需要的話你想設(shè)幾個(gè)就設(shè)幾個(gè),所以你也才會(huì)從學(xué)物理的人口中聽(tīng)到「時(shí)間也是我們所在的時(shí)空的其中一個(gè)維度」的說(shuō)法。

  我們其實(shí)也可以設(shè)計(jì)一個(gè)由無(wú)限多個(gè)三維空間組合起來(lái)的四維空間(只是它很抽象,難以畫(huà)成圖形或做成模型),再上去的話就以此類推。

  實(shí)際上,在人工智慧(AI)的領(lǐng)域裡,也很頻繁地使用到多維度的空間(不小心又碎唸到這裡來(lái)了呢)。

  可以想像,假設(shè)現(xiàn)在你的手上已經(jīng)有一堆數(shù)據(jù),但是你不知道這些數(shù)據(jù)的規(guī)則,你就可以把這些數(shù)據(jù)畫(huà)在座標(biāo)平面上,然後透過(guò)數(shù)據(jù)分析的方式來(lái)求出它「可能的規(guī)則」——也就是下圖你看到的直線:



  在數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域裡,這條根據(jù)既有的數(shù)據(jù)模擬出的趨勢(shì)線稱為「迴歸直線」,可以用來(lái)協(xié)助預(yù)測(cè)同一事件的另一組數(shù)據(jù)可能的落點(diǎn)。在迴歸直線上抓的點(diǎn),即使不完全準(zhǔn)確,至少也不會(huì)和預(yù)期的結(jié)果相差太遠(yuǎn)。

  人工智慧有一部分的流程正是在做類似的事情,只是因?yàn)橛绊懹?jì)算結(jié)果的因素(參數(shù))通常很多——比如說(shuō)你想預(yù)測(cè)一個(gè)病人是否有立即的生命危險(xiǎn),那你可能要把血氧濃度、性別、血壓、心跳、呼吸頻率、體重、身高、年齡、存活時(shí)間等等的過(guò)往資料通通考慮進(jìn)去,而這裡每一項(xiàng)因素都會(huì)成為一個(gè)維度——所以一個(gè)複雜的人工智慧在消化大量數(shù)據(jù)、建立模型的時(shí)候,可能就會(huì)使用到多達(dá)數(shù)百個(gè)維度的空間(這就是人腦無(wú)法想像的等級(jí)了)。

  所以說(shuō),數(shù)學(xué)這東西既然能發(fā)展成這樣,必然有它的原因,你也就別再抱怨買菜用不到開(kāi)根號(hào)——人工智慧都可以瞬間幫你產(chǎn)出一堆二次元老婆圖了,你還敢說(shuō)學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)有用嗎?
 
引用網(wǎng)址:http://www.jamesdambrosio.com/TrackBack.php?sn=4937641
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留言共 10 篇留言

雪之王女?F?巧可奈
數(shù)理白癡只能純推

10-04 09:28

美好的過(guò)去漸行漸遠(yuǎn)
geogebra真的好用

10-04 09:30

解凍豬腳
無(wú)意間發(fā)現(xiàn)這東西做迴歸直線只要按個(gè)按鈕就好了,所以不小心就連迴歸直線也拿出來(lái)講 [e6]10-04 09:31
毀滅男爵
我還以為豬腳要用函數(shù)圖形畫(huà)一個(gè)洨豆腐勒

10-04 09:30

解凍豬腳
給你看愛(ài)因斯坦函數(shù):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Einstein%E2%80%99s+curve10-04 09:34
星爆凱留-東方傳教士
這東西被我用來(lái)分析公主連結(jié)的防禦力系統(tǒng)

10-04 09:33

梓月
什麼時(shí)候教傅立葉轉(zhuǎn)換?

10-04 10:45

のんびり貓
除了geogebra 也可以用desmos

10-04 10:48

ashisun
都看不太懂,接下來(lái)一整年剛好要畫(huà)各種線了

10-04 10:48

曰光
我只知道畫(huà)出老婆是重點(diǎn)

10-04 11:53

How祈爾斯
感覺(jué)能夠看懂你說(shuō)的,但公式完全看無(wú)

10-04 12:54

alice
不知道 哪個(gè)天才傳 愛(ài)因斯坦 數(shù)學(xué)不好的假消息。 (結(jié)果今天公布成績(jī))

10-05 16:06

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