[達人專欄] 讓我們好好認識「函數」吧

作者：解凍豬腳│2020-09-29 21:30:37│巴幣：1,221│人氣：3355

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　　哈囉大家好，為了因應文章必須用不同字體和排版方式發表在各個平臺上，以及配合之後要分享的一系列微積分觀念，所以換個方式把這些文章更完整地重新再寫一次。這次希望可以連同「零基礎」的族群也考慮進去，並且盡量在「嚴謹」和「淺顯易懂」之間取得平衡。

　　在臺灣的國中數學課程裡，我們學到：「函數是兩個集合之間的對應關係。」當你試圖想了解這句話的時候，也許一不留神，就會在數學課本的下一行突然看到長得像這樣的式子：

f(x) = 3x+7

　　「What？在我的理解中，x 不是未知數嗎？我只會解一元一次方程式啊大哥！為什麼 f(x) 會等於 3x+7？」我相信國中時期就開始放棄數學的人，多數人都是在這關被打敗，從此不再踏入數理之門一步。

　　記得國中的時候我也因為函數而受挫。那段日子正逢叛逆期（或許吧？但似乎比較像是單純愛玩），所以上課老是睡覺、發呆，我的情況可以說是根本不知作業為何物。當我段考前兩天回過頭來要惡補進度的時候，才發現我已經看不懂了。後來也許是老媽以手上的衣架作為明燈，指引我的方向，我才終於弄懂函數是怎麼一回事。

　　在我解釋函數是什麼之前，讓我先考考你以下幾個問題：

　　一、1 月一共有幾天？
　　二、2 月一共有幾天？
　　三、「有 31 天」的月份是幾月？
　　四、「有 31 天」的月份有幾個？
　　五、攝氏 30 度必定等於華氏 86 度嗎？

　　是的，相信你心裡一定很快就會浮現出一些答案，但是其中更加聰明（奸詐？）的讀者應該又會隨後補充答案。

　　正確來說的話，答案是：

　　一、31 天
　　二、平年 28 天，閏年 29 天
　　三、1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月
　　四、7 個
　　五、是

　　沒錯，不要懷疑，我舉例的這五個問題都跟「函數」的性質有很大的關係。

　　函數這個東西呢，就好像一臺一般的自動販賣機一樣，當你按了特定的按鈕，它就應該要滾出一罐特定的飲料，而且只要你每次都按一樣的按鈕，那它每次滾出來的東西必定相同，這就是函數。

　　譬如，以月分來說，我們每次問：「平年的時候，一月有幾天？」的時候，一定都會得到 31 天的答案，沒有例外；當我們問：「平年的時候，二月有幾天？」的時候，一定都會得到 28 天的答案，仍然沒有例外；其他月份亦然。

　　所以我們可以說：「因為天數受到月分而定，所以同樣都是平年的時候，天數是『月分的函數』；同樣都是閏年的時候，天數也是『月分的函數』。」

　　但是，當我們沒有在事先說好是平年或閏年的情況下，直接問你二月有幾天呢？這時候你就沒辦法乾脆地回答了。因為你不知道是平年還是閏年，所以二月可能有 28 天，也可能有 29 天——世界上豈有按了按鈕卻隨機掉出兩種飲料的自動販賣機呢？那不就是詐騙了嗎？所以，這時候天數就不是月分的函數了，因為當我遇到二月的時候，對應的天數不是唯一的。

　　因此，一旦牽扯了平年閏年，問題就會變得有點複雜。我們先姑且當作每年都是平年吧！這樣也比較易於解說。

　　因為「函數」的英文叫做 function，直譯過來也可以稱作是一個「方法」（在程式設計的領域裡，會有人這樣說），所以一般習慣上我們在隨意假設一個函數的時候，習慣把它的名字取為 f。用數學式來表達的話，我們可以列出：

　　f(1) = 31
　　f(2) = 28
　　f(3) = 31
　　f(4) = 30
　　f(5) = 31
　　f(6) = 30
　　f(7) = 31
　　f(8) = 31
　　f(9) = 30
　　f(10) = 31
　　f(11) = 30
　　f(12) = 31

　　月分是 1 的時候，經過了 f 函數的轉換，得到了 31 天的結果；月分是 2 的時候，經過了 f 函數的轉換，得到了 28 天的結果……。

　　沒錯，這就是函數的核心觀念：「對應」。

　　有常識的我們也知道，一年 12 個月當中，如果以平年計算的話，「有 28 天」的月分有 1 個、「有 30 天」的月分有 4 個，「有 31 天」的月分有 7 個。無論你怎麼重新計算，只有 28 天的月分一定只有 1 個、只有 30 天的月分一定只有 4 個、總共有 31 天的月份一定有 7 個。同樣地，我們也可以把這樣的對應關係寫成數學式（假設這個函數叫做 g）：

　　g(28) = 1
　　g(30) = 4
　　g(31) = 7

　　至於「有 31 天的月分」是「幾月」，可就沒有必定的答案了。因為它可能是 1 月、可能是 3 月、可能是 5 月、……（中間省略）、可能是 12 月，我們總不可能寫得像這樣：

　　h(31) = 1
　　h(31) = 3
　　h(31) = 5
　　h(31) = 7
　　h(31) = 8
　　h(31) = 10
　　h(31) = 12

　　如果這麼寫的話，那你說從今以後遇到 h(31) 的時候，我們到底要計為多少才是正確的呢？所以，只要這之間出現了「一對多」的關係，我們就不能說它是函數。因此，月分並不是「天數的函數」（注意語序！「A 是 B 的函數」跟「B 是 A 的函數」並不同）。

　　綜合以上的說明，我們就可以知道「1 月一共有幾天」可以是函數關係（因為一定都是 31 天），「『有 31 天』的月份有幾個」也可以成為函數關係（因為一定是 7 個），但是「2 月一共有幾天」或是「『有 31 天』的月分是幾月」都會出現不一定的答案，所以不能成為函數關係。

　　是的，簡單來說，函數就好像一個特定服務的窗口，當你想要查詢資料的時候，只要給這個服務臺的人員相關資訊，他就會告訴你一個特定的答案，而「從輸入的值轉變為輸出的值」的規則，就是這個函數的定義。

　　我們剛才定義的函數 f(x)，這個 x 只能是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 的其中一個，我們就可以說 f 的「定義域」是「1 ≦ x ≦ 12, x ∈ Z」（x 不小於 1 也不大於 12，且 x 為整數），而 f(x) 可能是 28、可能是 30、可能是 31，我們就可以說 {28, 30, 31} 這個集合是 f 的「值域」。

　　剛才我們就順手把定義好的 f(x) 寫成定義的式子了：
　　f(x) = x 月的天數, 1 ≦ x ≦ 12, x ∈ Z

　　那上面剛才定義的 g(x) 怎麼寫成數學式呢？我們可以這麼寫：

　　

　　而這個 f(x)，我們可以讀作「f of x」，g(x) 可以讀作「g of x」，以此類推。

　　這兩個例子的定義看來是很人為的，都是從特定的數字對應到特定的數字。倘若今天某個函數有規律可循，輸入的數值可以有無限多種可能，我們總不可能逐一列出，對吧？

　　而在我們剛才的五個小問題當中，就有一個可以很單純用一個數學式來表達的函數——攝氏溫度與華氏溫度之間的關係。我們都知道，攝氏溫度乘以