先此聲明，本人不是數(shù)學(xué)系，所以數(shù)學(xué)推導(dǎo)不會很有邏輯，也可能見解錯誤，不能接受者請見諒，有錯誤請指正。

參考推薦書籍：毛爾-《毛起來說e》（博客來網(wǎng)頁連結(jié)）

以下主要推導(dǎo)其實只是大一微積分的一小段，究竟如何推導(dǎo)對於正常使用者（物理或工程學(xué)系）其實不是非常重要，只是我在當(dāng)初聽到這推導(dǎo)法覺得很漂亮自然也很合理，所以想要在這裡記下來。其實這推導(dǎo)後來我發(fā)現(xiàn)在維基上也有。

複數(shù)被我們寫成a+bi，其實這可以說是我們規(guī)定的。複數(shù)這種數(shù)字一開始是不被大多數(shù)數(shù)學(xué)家接受的，因為它對於原有的數(shù)學(xué)而言非常不自然，它們不能比大小，不能畫函數(shù)圖，不知道放在指數(shù)是什麼，也不知道把它開根號是什麼。但是數(shù)學(xué)家還是會做他們最會做的事：從假設(shè)出發(fā)一步步研究發(fā)展。我們假設(shè)除了i平方是-1之外，虛數(shù)的運算規(guī)則符合原本的實數(shù)規(guī)則，因此可以加減乘除，而棣美弗(Abraham de Moivre)發(fā)現(xiàn)棣美弗公式之後，它們可以被開根號，但是複數(shù)放在指數(shù)的結(jié)果是什麼？

我們在指數(shù)律上做的事情其實很像這段複數(shù)的進(jìn)展，當(dāng)初國中時我就想過究竟0.5次方是什麼意義，後來到高一時才知道意義非常簡單。我們有整數(shù)次方的指數(shù)律，而且知道開根號，然後就發(fā)現(xiàn)其實0.5次方和二次根號有相同的等式，所以我們把0.5次方定義成開二次根號，而開n次根號也同理。但是我們發(fā)現(xiàn)在負(fù)數(shù)底數(shù)上有一些動作不能做，否則會導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，所以有理數(shù)次方不能用在負(fù)數(shù)底數(shù)，有時在推廣的過程中會需要捨棄某些好用的性質(zhì)，就像是複數(shù)推廣到四元數(shù)時一樣（不知道四元數(shù)的人請看我以前的向量篇和矩陣篇）。

歐拉（Leonhard Euler，Eu在德文發(fā)Oi）在1748年提出了一個等式，至此大家才知道虛數(shù)指數(shù)是什麼，以及其實所有複數(shù)都是指數(shù)函數(shù)，還有棣美弗公式其實只是指數(shù)律的展現(xiàn)。歐拉當(dāng)時用的推導(dǎo)法是用無窮級數(shù)重新排列得到，但是我認(rèn)為無窮級數(shù)在基礎(chǔ)概念上反而更複雜，不及下面推導(dǎo)法直接。

但首先還是要有些先入知識，這些事前推導(dǎo)都是在複數(shù)還沒被放進(jìn)函數(shù)時數(shù)學(xué)家們就知道的事情，那時候的函數(shù)定義域和值域都只有實數(shù)，而在實數(shù)時確定有這些性質(zhì)，但是沒有人知道放進(jìn)複數(shù)會是什麼結(jié)果。

有一個常數(shù)在高中沒有提到，因為這一直到大學(xué)有微分方程式之後才會有用，就是e。（歐拉是第一個以e代表它的人，而在歐拉之前就已經(jīng)有人研究過這個常數(shù)。我們會叫它歐拉數(shù)，但科學(xué)史上一般認(rèn)為歐拉不是以自己姓氏首字母取名，原因一直不明）

e的原始定義是：

這個式子若是採用錯誤的趨近法，分別會得到1或無限大的極限。若把當(dāng)成趨近於0，整個式子會是1的n次方就是1；另一方面，因為括號裡永遠(yuǎn)大於1，所以無限大次方會趨近於無限大。

真正的趨近法應(yīng)該先把括號去掉，也就是用二項式展開變成無窮級數(shù)

最後把丟掉得出

這個數(shù)大概是2.718281828，不過重要的不是這個數(shù)值多大，而是它的指數(shù)函數(shù)微積分性質(zhì)。

先看一般的指數(shù)函數(shù)微分的結(jié)果，以微分定義計算會是

會是一個和自己成正比的微分值，但是前面多了一個和a有關(guān)的常數(shù)，這個常數(shù)在之後可以推導(dǎo)，這裡先給出它的極限

ln是Natural Logarithm的簡寫，叫作自然對數(shù)，是e為底數(shù)的對數(shù)，和一般的log一樣，它是的反函數(shù)。（念法可以是LN、Natural log、log E或直接念log，就是不要唸成long、log N或甚至是 I N）

所以說，若是a=e，那麼就可以得出微分是

意思是，一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，它的微分，也就是每個點的斜率就是它的函數(shù)值。它是數(shù)學(xué)中所有函數(shù)裡唯一擁有這性質(zhì)的函數(shù)，至於為什麼這性質(zhì)很重要，之後會再說。

自然對數(shù)其實比還要早被發(fā)現(xiàn)，它是從某個函數(shù)的積分，也就是求面積而來的，後來才知道它的底是e。

對數(shù)有個換底公式，可以把所有對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換成某個特定的底，相似的，指數(shù)函數(shù)也有個換底的方法，可以把所有指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換成以e為底。

設(shè)，兩邊取自然對數(shù)得

這表示

所有指數(shù)函數(shù)都可以表示成e的指數(shù)函數(shù)，而因為是最特別的指數(shù)函數(shù)，ln(x)是最特別的對數(shù)函數(shù)(原因之後會講)，所以我們可以直接稱它們?yōu)橹笖?shù)函數(shù)(exponential)和對數(shù)函數(shù)(log)，顯現(xiàn)它們的代表意義。

其實也可以寫成無窮級數(shù)，從e的定義開始

因為趨近於0，不管x是多大都無法把它加大，因此可以捨去得

如果x前面有常數(shù)a，我們可以用這展開式得出微分是

這裡的dx表示無窮小量，而dx的二次方以上項都趨近於0因此捨去。

所以結(jié)果是，如果有個常數(shù)a，微分就像是把常數(shù)拉下來放在前面一樣，其實先前一般指數(shù)函數(shù)微分的結(jié)果在換底之後就很明顯

還有另一個簡單的性質(zhì)是

整理一下關(guān)於的性質(zhì)：

1. 微分等於自己、

2. 微分之後a會拉到函數(shù)前、

3. 整個函數(shù)乘以常數(shù)C不影響微分性質(zhì)。

之後想要知道虛數(shù)指數(shù)是什麼意義，這些性質(zhì)就是關(guān)鍵。

不過在這裡提一下微分方程式。微分方程式最主要的目的是要解出（或是猜出）符合此方程式的所有函數(shù)，像是

的解是，C不管是什麼常數(shù)都符合方程式，這時需要針對函數(shù)的另一個條件，像是要求f(0)=0，這時C才會是0。那麼像是

的解當(dāng)然就是。解更複雜的微分方程式常常需要經(jīng)驗或特殊方法才能解出，有幾類甚至是數(shù)學(xué)上的難題，只要研究有任何進(jìn)步都是大消息。物理上面幾乎所有計算都需要微分方程式，牛頓更是為了力學(xué)發(fā)明了微分，力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)、廣義相對論，都是由一點的微分解出整個函數(shù)，而其中很多微分值都和該點函數(shù)值有關(guān)。

例如牛頓冷卻律：物體升降溫速度和周圍溫差成正比

T是溫度隨時間t的函數(shù)，Q是周圍溫度，k是影響變溫速度的係數(shù)，和物體散熱吸熱能力有關(guān)，負(fù)號是因為在溫度比周圍高時會降溫、比周圍低會升溫。它的解是

若是設(shè)定物體在時間0時，T(0)溫度是T0，則完整答案為

在這個答案裡，一開始溫差大時溫度變化會很大，到後面溫差越來越小而漸漸變慢。

微分和自己有關(guān)的函數(shù)裡，一部分是指數(shù)函數(shù)，是會趨近某個結(jié)果的函數(shù)；一部分是震盪函數(shù)（週期函數(shù)），是離平衡點越遠(yuǎn)往回的力量越大的函數(shù)，像是sin,cos，這出現(xiàn)在描述波動的方程式裡，波動在物理上很廣用，但是除了sin,cos之外其實還有其他震盪的函數(shù)，若是座標(biāo)不是直角座標(biāo)就會出現(xiàn)，不過直角座標(biāo)還是最常用的，後面我們也會知道其實sin,cos可以被歸納進(jìn)指數(shù)函數(shù)。

現(xiàn)在就要用前面的東西來推導(dǎo)出複數(shù)指數(shù)，實際推導(dǎo)非?？?。

我們想知道的x代入複數(shù)會是什麼結(jié)果，而複數(shù)是a+bi，因此實際上我們只需要知道是什麼。而既然帶有虛數(shù)，我們就假設(shè)函數(shù)值可能是複數(shù)值函數(shù) = u(x)+v(x)i，u和v都是實數(shù)值函數(shù)。再來，i是一個常數(shù)，x是任意實數(shù)，我們希望在推廣到虛數(shù)時保留有實數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，也就是微分會拉下一個i，於是我們要求

兩邊實部和虛部互相對應(yīng)得到兩個方程式

這表示u,v這兩個函數(shù)互相相關(guān)，彼此是對方的微分，而且其中只有一個微分會是負(fù)的另一個，這種性質(zhì)在所有實數(shù)值函數(shù)裡面，只能找到兩個擁有這性質(zhì)，就是sin(x)和cos(x)。

所以u(x)=cos(x)，v(x)=sin(x)，不過其實就算它們都乘上一個任意實數(shù)C，還是符合這兩個方程式，因此我們猜測答案會是

我們當(dāng)然不會停在這裡，因為虛數(shù)i再怎麼樣還是常數(shù)，任何數(shù)字乘以0必定是0，而我們再怎麼不確定函數(shù)值是多少，都能確定的就是x=0的時候，必定是1，否則連實數(shù)指數(shù)的基礎(chǔ)都會被撼動，於是我們將0代進(jìn)x得

最後就得到有名的歐拉公式

得出這個公式看似是一個收尾，但其實由它延伸出來的更多推論都值得一看。

首先，這個公式右邊和複數(shù)極式一模一樣，這表示所有複數(shù)都是指數(shù)函數(shù)

這也解釋了為什麼兩個複數(shù)相乘會是長度相乘角度相加，是指數(shù)律的結(jié)果。

棣美弗公式也是指數(shù)律

還有，它重新定義了sin和cos

這兩個式子保留了原本實數(shù)的性質(zhì)，更推廣定義域和值域到了虛數(shù)，例如可以算cos(i)和sin(i)

對於本身來說，歐拉把一個特別的數(shù)字π代入公式得到

這個式子可以說是一個定理，有人認(rèn)為它十分奇妙，它是我們在將指數(shù)推廣到虛數(shù)時出現(xiàn)的必然結(jié)果，是一個特例，實際上它沒有什麼實用性，不過某方面而言確實可以說是一個藝術(shù)品。

而對於物理而言，因為原本的sin,cos是震盪函數(shù)，連帶也變成一種震盪函數(shù)，這在物理上已經(jīng)非常通用，最明顯的是量子力學(xué)的薛丁格方程式，一個在空間中自由前進(jìn)的粒子波函數(shù)（正式應(yīng)該叫狀態(tài)函數(shù)）就是的形式，直接一點說，其實算是薛丁格方程式的一個解。

而其他物理或工程上的很多問題也是，若先轉(zhuǎn)成就變得容易做，像是在電磁學(xué)或電路學(xué)時，電磁波或是交流電都是sin,cos波動的問題，轉(zhuǎn)換成指數(shù)函數(shù)對於繁複的計算都有很大的簡化作用。

更有趣的是歐拉公式將對數(shù)函數(shù)推廣到了虛數(shù)，不過這時和實數(shù)時候的對數(shù)有點不同。實數(shù)時的對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，因為指數(shù)函數(shù)是一對一的，給一個x只有一個y，而且每個x的y都不同，這時才能反過來從y找出唯一x。但是在虛數(shù)指數(shù)時，可以想見，若是的x多轉(zhuǎn)了角度2π，其實會對應(yīng)到同一個y，這時若是給定一個y，會找出無限多個x，不過這時候我們就把條件放寬了一點，還是叫它為反函數(shù)。虛數(shù)對數(shù)做的事情，就是找出哪些x會產(chǎn)生給定的y

例如

n是所有的整數(shù)。這表示任意n的時候代入答案都會是i，不過通常把n=0的時候叫作「主值」。若是給的是一般複數(shù)時，就要先換成極式再計算

其實不只是虛數(shù)對數(shù)有無限多個答案，推廣到複數(shù)之後，連正實數(shù)答案都有無限多個

，除了主值之外其他都是複數(shù)。

更甚，原本不該有對數(shù)值的負(fù)實數(shù)其實在複數(shù)域可以計算對數(shù)

可以看到負(fù)實數(shù)在實數(shù)域裡沒有對數(shù)值

可以算對數(shù)的話，就可以算一個看起來很特別的數(shù)字：i的i次方

其實實際算出來也不是很特別，它的主值大約是0.20787957635，而且是實數(shù)。

對數(shù)問題其實實用性不大，而對我個人來說，實用性最大的是關(guān)於sin,cos的相關(guān)問題

像是推導(dǎo)和角公式

其實在概念上這只是把複數(shù)乘法反過來做，但是臨時想不起來時倒是可以一次迅速推導(dǎo)兩個。

最後提一下為什麼前面說ln(x)是最特別的對數(shù)函數(shù)，這大概也是高中時候沒有教e的一個原因，更是高中時候算不出積分的原因，同時也是在微分方程式常用的另一個原因。

我不知道怎麼從積分算出答案，只能從微分反過來推導(dǎo)，直接計算ln(x)的微分

dx本身是無窮小量，不過為了更容易看，把它設(shè)成變數(shù)h

，再設(shè)，就可以得出

實際上的積分，x需要考慮正負(fù)問題，所以公式是

或許有人會覺得我前後矛盾，為什麼前面說不用無窮級數(shù)，但是在推導(dǎo)性質(zhì)卻用了一堆的無窮級數(shù)。其實對於e的性質(zhì)來說，不管是保持原始定義，或是從微積分性質(zhì)反向定義，得到的都是同一個東西，因為數(shù)學(xué)上就是只有它擁有這些性質(zhì)，只是從原始定義才會有推導(dǎo)脈絡(luò)，不然其實大可跳過推導(dǎo)直接定義「有這些性質(zhì)的就是」。

歐拉當(dāng)時把i直接代入的無窮級數(shù)，其實用級數(shù)展開的概念來說，因為無窮級數(shù)同時保持了微分性質(zhì)和f(0)=1，才可以一步驟推導(dǎo)。但是再更深入一點的話，在無窮級數(shù)裡放入虛數(shù)，以及無窮級數(shù)重新排列，是不是會影響收斂性質(zhì)，這些都應(yīng)該要討論，而這些思考當(dāng)初歐拉都直接跳過了，雖然後人證明這些動作沒有問題，不過我個人還是不太喜歡這推導(dǎo)法。