此篇是上一篇投影的補充篇。內文同樣有一些詞是自己取的名字，使用上若和學界不同也請輕鬆看待。
橢圓有好幾種半徑，從焦點連到邊上的稱為焦半徑，還有物理常用的平均半徑，還有一種就是從橢圓中心連到邊上的，這種似乎沒有被取名，因此我把它叫做心半徑。橢圓和圓很像，但是總是刻意避開去談橢圓半徑，一個是因為在高中沒有必要，一個是因為每一點的半徑都不同，於是產生了平均半徑。
直角座標下的焦半徑有公式，可以從兩點距離公式化簡得來，網路上有很多解說。相反的，心半徑網路上很難查到資料，也無法像焦半徑那樣從距離公式化簡。
一般直角座標情況下，設橢圓兩焦點為(c , 0) .(-c , 0)，則焦半徑公式為
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e 就是先前提過的
離心率。
正負號分別用在兩個焦點，負號用在(c, 0)，正號則用在(-c, 0)。將這兩個公式相加答案為2a，符合橢圓的定義（任意點到兩焦點距離和為2a）。從形式上看來，我們需要設定 x 座標，而和y座標無關，因為橢圓上下對稱，設定了點的x座標後，被決定的兩個y座標的焦半徑是一樣的。
用先前的投影概念，也可以算出等價的結果，不過此時是純幾何的結果，並沒有座標，所以公式會和x y座標無關，取而代之的是角度和橢圓的a b c。
以焦半徑和x軸正向的夾角來作為計算依據。
把這個橢圓放在三次元空間中，並想像它是由一個圓形透過平行光投影而成，我們就可以利用這個圓形反過來算出這個焦半徑（應該說，這「些」焦半徑）。
sec(secant , 念作西肯，到了高三很多人都以為sec全稱是second) 這個三角函數要到高三才會講到，其實就是cos的倒數，先前是從上面投影下來用cos，那倒算上去就要乘以sec。
橢圓長軸上的黑點就是焦點。只要選擇適當的
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，我們就可以讓橢圓和圓之間完美投影，這時上面的圓形半徑就會是橢圓的
a，而且因為是平行光所以中心互相對應，而想求的焦半徑為
R，這時就可以利用這個圓形來寫出方程式。根據勾股定理，可以得出
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而其實
展開後會是一個二次方程式，公式解的結果為
此式再經過一連串的化簡可以得到某個簡單的形式。
回頭看最上面的焦半徑，為了讓公式裡不出現x，因此用
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代入得
看著最後結果的分母，是否感覺十分熟悉？往前尋回前面說過的圓錐曲線的極座標形式
唯二的差別是分子不同和分母的加減號碼不同，此時看來或許相差很多，還需要再一些變化。
記得
p是指半正焦弦，課堂上有說過橢圓的正焦弦公式為
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，所以半正焦弦p就是
最後只剩下分母的加減號問題，而這其實只是基準不同產生的差異而已。上面在算焦半徑時所定的基準0度的位置是在焦點(c,0)的
右向，而極座標形式則是
左向，兩者相差180度，因此有正負之差（
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），這些都非硬性規定，而只看所使用的基準。先前由投影所解出的複雜答案，經過幾個代換和消去（
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）後的結果也會一模一樣。
由此我們知道了其實先前的極座標形式與焦半徑其實殊途同歸，極座標形式以其中一個焦點為原點，焦半徑公式則給出了在各個角度下，點與焦點的距離，這個結果十分合理。而先前在極座標段落也講過，當e變化時，圖形也會有三曲線的變化，這表示從橢圓推得的焦半徑公式，其實也同時適用於拋物線和雙曲線，一舉三得。
心半徑同理，以半徑和x軸夾角為依據
可以得出
解出答案經過代換和化簡得
另一方面，在直角座標上的公式則為
焦半徑的計算雖然一開始因為多了幾個項，所以比較長，但是到最後根號會消失。相反的，心半徑最初少了幾個項，到最後根號變得無法消去。（看第一個形式的分母會發現它是平方差開根號，這種情形在國高中可沒有公式）。這公式也同樣可以在極座標中畫出橢圓，和雙曲線，但是無法畫出拋物線，因為拋物線沒有所謂「中心」。
心半徑被我用在我先前一篇文章〈
上課不認真之 ── 地平線到底有多遠〉中，那時我把
地球設為一個橢圓，想計算
北緯23.5度的心半徑，但卻天真的以為橢圓的
參數式可以直接拿來用，導致半徑數值錯誤。
那時我用參數式算出的半徑答案為6374741.6公尺，
而用這裡的公式算出的正確答案為6374722.382公尺，差了19.2公尺。因為地球非常巨大，非常接近圓形，因此這兩種算法在誤差最大的45度左右也只差了35.9公尺，而其實這種誤差在應用上幾乎可以忽略。
事實上當初會想到用夾角θ來算，而不是直角座標，就是為了要找出計算橢圓（地球）心半徑最正確的公式，因為此夾角在地球上就是緯度數值，而要換算成x座標簡直多此一舉，最後才想到可以借用投影概念來得出公式。
投影概念乍看只是理想中的數學，沒有實際的感覺，但其實我們每天都在接觸投影，不只是影子，每分每秒進入視線中的所有影像，其實都經過投影，只是概念比先前所說的更複雜。
拿兩個平行線來說，兩條平行線原本是處處距離相同、不應該互相碰觸的，但是在我們的視覺裡，永遠都可以看到兩條平行線隨著距離越來越遠，越來越靠近。
圖片以五條平行線呈現，左邊是理論上平行線的樣子，右邊則是平常我們眼睛所看到的樣子，平行線看起來互相會越來越接近，最後好像會交在無限遠處，繪畫上這叫做透視，而數學上就屬於投影，是外界的影像（光線）投射到我們眼睛的結果。
描述這種幾何的分支就叫做射影幾何（或投影幾何），我在上一篇所講到的平行光或錐形光投影就屬於這個分支，不過我所講的內容比起真正的學科還要簡略太多了。
另外一個視線投影的例子是，如果在紙上畫出一個圓形，將紙張放斜，則我們看到的會變成橢圓。其實只要我們的眼睛不是從圓心正上方看下去，看到的圓形都會變成橢圓，這也可用投影來描述。
幾何圖形的一些性質經過投影後有些可能會改變，有些則不會；像是線段長、夾角等就可能改變，而不會改變的其中一個例子就是下面所要講的：兩圖形面積比。
橢圓面積公式在高二下或許有些人知道，有些人不知道，它很簡短，聽一次就記得起來，但是是如何推導出來的？很多有經驗的人都會直接說用積分算，但其實有個不太嚴謹，但是有理論基礎的推導方法，是我當初還不知道公式時所用的推導法。就是利用圓形斜看變橢圓，也就是平行光投影的概念。
設有一個圓形半徑
R，外接了一個正方形，則正方形邊長就是
2R。很顯然的，這個圓形面積是
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，而正方形面積是
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，兩個圖形的面積比值是
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。
當這個圓形經由投影，變成一個橢圓的同時，外接的正方形也變成了長方形
這時長方形的面積是
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，假設兩圖形的面積比在投影後不會變，我們就可得出橢圓面積公式
這便是我當初的推導過程，雖然缺少為何面積比不變的證明，但是結果是正確的。
而用投影可以推導橢圓面積，是否能以同理推導出橢圓周長？
答案是不能。
以此方法推導出來的橢圓周長是一個簡單的式子，但其實橢圓的周長是不能以一個簡單的算式表達的，網路上所能找到的簡短的計算式都只是近似值。
這種情況在大學之後很常出現，國高中的方程式可以只用基本函數（四則運算、三角函數、指對數函數）以有限長度的表達出來，叫做解析解；而絕大部分方程式的解只能用數字來逼近，就叫數值解，若想要用基本函數表達，有時只能是無限長的算式，不然就得用更複雜的函數表達，還不如直接用電腦來逼近。
創作內容
補充-自己的數學整理-3.2- 橢圓的半徑與投影幾何
e 就是先前提過的離心率。
，我們就可以讓橢圓和圓之間完美投影，這時上面的圓形半徑就會是橢圓的a，而且因為是平行光所以中心互相對應，而想求的焦半徑為R，這時就可以利用這個圓形來寫出方程式。根據勾股定理，可以得出
代入得
，所以半正焦弦p就是
），這些都非硬性規定，而只看所使用的基準。先前由投影所解出的複雜答案，經過幾個代換和消去（
）後的結果也會一模一樣。
，而正方形面積是
，兩個圖形的面積比值是
。
，假設兩圖形的面積比在投影後不會變，我們就可得出橢圓面積公式
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