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最近高三國文課上到余光中的「我的四個假想敵」，老師很用心的給我們看了教材附的光碟影片，其中一部影片在結尾時出現余光中的一句話
「唯你的視線無限，能超越地平線的有限。」
我看著這句話，腦中開始思考，地平線確實是有限的，那麼我們平常看到的地平線到底在哪？
於是我從那刻開始煩惱了這問題三天。
首先，地球是圓的，但不是正圓，而是稍微橢圓，因此每個緯度到地心的半徑都會不同。
根據維基百科，赤道到地心距離為6378137公尺，南北極到地心距離為6356752.3公尺，
兩半徑只相差21.3847公里，與地球尺度相比非常接近正圓。
再考慮人的身高最多不超過3公尺，可以推測 人站立位置的半徑 與 所看到地平線位置的半徑 ，
應該幾乎相等，而相對地心的夾角也會很小。
所以，把半徑設為 R，人的身高設為 T，夾角設為 θ，地平線距離設為 D，
畫出圖形為（地表曲率、人的身高有誇大）
看到在距離那邊多設了一個d。藍色d代表人眼到地平線的空間直線距離，紅色D代表人站立位置沿著地表到地平線的長度，兩者算法不同，但因為θ很小，所以數值會非常接近，稍後會分別計算來比較。
首先得要算出半徑R，我以臺灣當標準，取緯度23.5度位置的半徑。
因為一開始我沒想到可以用橢圓的參數式來計算
（這是在這學期課程後半部才教的，一開始沒有想到去翻課本，所以根本不知道有這東西）
於是我直接假設橢圓從0度到90度的半徑變化是線性的，因此用內插法求出半徑為
我最初就用這個數字做計算，但我還想要更精準的數字，於是便查到了參數式，算出半徑為
比上面的半徑還要大，這表示橢圓半徑確實不是線性。而其實是波動(三角函數)型變化。
若以橢圓半徑為 y，角度為 x，畫出 y 隨 x 的變化圖形，再把假設的線性變化圖形拿來比對
兩條線會相交在0度、大約45度、90度，而小於45度的區域，內插法計算的數值會較小，這符合先前計算的結果。
半徑算出來後，假設因為θ很小導致半徑不變，方便計算D和d。
d比較好算，因為是直角三角形，所以可以用畢氏定理。設身高為180公分(1.8公尺)，
再來是比較麻煩的D，需要先算出θ數值後，才能算出弧長D，而θ就交給電腦用反三角函數來算。
高二教過的三個三角函數sin、cos、tan，高三再加入它們的倒數sec、csc、cot，這些三角函數都是放入角度（弧度），得出比例，
而反三角函數則是反過來，放入比例，可以得出角度。寫法可以在原本三角函數前面加arc，也可以直接在右上方寫-1。像是
因為反sin的值域只有90°到-90°，所以原本1/2應該是30°和150°都有，但是答案會只有30°。
所以D的計算結果為
![]()
以上的算式是用在反cos算出來是弧度的狀況，如果算出來是角度的話，就要寫成![]()
角度乘以 π / 180 就是弧度。而這裡算出來的角度大約是0.0430568782594°
算是很小的角度
最後比對d和D的大小
d = 4790.51907499
D = 4790.51817322
從小數點後第三位開始比 D 大，因為用公尺當單位，所以小數點後第三位是毫米，也就是說，兩種距離算法在這樣小的 θ 之下只差了不到1毫米。
若是想記起來的話，我個人是記4790.5就好。
其實還有兩個問題。
第一個是，緯度不同半徑的確會不同，那麼在臺灣南北，甚至世界各地看到的地平線距離會不會差很多，差異大到4790.5無法完整呈現大約的地平線距離？為此我用上面的算法算了一下，臺灣南(22°)北(25°)的數值從 4790.66801953 到 4790.36081704，平均大概就在4790.5。
而世界（緯度0到90度）從 4791.79379766 到 4783.75405704，平均在4787.77。
所以世界各地的地平線距離差異大約8公尺，不是很專注細節的話用4790就足夠了。
第二個是，以上算法並沒有考慮往哪個方位看，但因為地平線距離相對地球尺度而言很小，所以這種距離差異應該比一毫米更小，幾乎可以不計。
如果想驗證這個數字是否正確。理想下應該可以讓兩個人拿著GPS儀器，一個人站在海邊拿著高倍率望遠鏡望向海面（地平線），一個人乘船到地平線去，再由定位找出兩點距離，不過這對我來說不太能做到。
其實這問題我大概花一天時間得出解答，剩下兩天一直在思考細節誤差，像是究竟地球橢球體到底影響多大，或是如何驗證4790.5公尺，最後決定到此為止。
網路上一些人算出來大概從4.3公里到4.8公里不等，不過他們用的數值經過很多近似，算法倒是和我大同小異。
小插曲：我一開始用我自己的工程計算機計算時，以為計算機預設arccos出來是弧度，結果直接拿角度乘以半徑，算出距離為274476.47公尺，本來不疑有它，後來和一個同學討論到這答案的正確性時，隨口問了一下臺灣南北距離，結果同學說大概3百多公里，我才赫然發覺這答案肯定有問題，不太可能一個180公分的人可以一眼望穿超過半個臺灣，於是修改算法才得出答案。
（2014/12月後敘：在寫此篇時，我們還沒教到橢圓的參數式，因此我誤用了橢圓的參數式。事實上在算23.5度的半徑時，代入的角度不應該是23.5度，所以此篇得出的半徑有錯誤，但要算出正確的數值，用到的算法要在下一篇圓錐曲線整理才會講到，在此很難一言道盡。雖然結果同樣是4790.5，但是為了要求能力所及的精確，還是得要給出正確的半徑才行。）
創作內容
上課不認真之 ── 地平線到底有多遠
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