甚麼是邏輯？

在日常語言中，「邏輯」有時被用作「定律」或「常理」的同義詞。例如，在語句「你說張三昨天死了，但這不合邏輯，因為他今早還有上學(xué)」中，所謂「不合邏輯」是指違反常理。另外又如在語句「這本科幻小說說某星球的溫度比絕對零度還低，這是不合邏輯的」中，所謂「不合邏輯」是指違反物理定律。以上兩例中所指的 邏輯究竟是否等同於邏輯學(xué)中所指的邏輯呢？

要回答上述問題，首先要了解邏輯學(xué)究竟是研究甚麼的？一般而言，邏輯學(xué)就是研究正確思維方式的學(xué)科。由於推理是人類思維中極重要的一部分，因此邏輯學(xué)中很大一部分的內(nèi)容是研究正確的推理方式。推理的一般格式是給定某些前提(Premises)，然後根據(jù)這些前提推導(dǎo)出某些結(jié)論(Conclusion)。所謂「正確的推理方式」就是運(yùn)用一些已被證實為正確的推理規(guī)則從前提一步一步推出結(jié)論。例如，根據(jù)前提「如果張三掉下海，他會淹死」和「張三掉下海」可以推出「張三會淹死」，可是卻不能從「如果張三掉下海，他會淹死」和「張三淹死 」推出「張三掉下海」，因為張三可能是在河中或泳池中淹死的。

邏輯學(xué)所研究的不是個別的推理，而是一般的「推理模式」，而這些推理模式可以用符號表示。例如上段的「 張三淹死」正確推理便可以表示為：給定前提「如果p，則q」和「p」，可以推出「q」(註1)，此推理稱為「 肯定前件式」(Modus Ponens)。反之，從「如果p，則q」和「q」卻不可以推出「p」。在上述正確推理模式中的p和q可以代表任何「命題」(Proposition)(亦作Statement，相當(dāng)於語言學(xué)中的「陳述句」)，即如果把p和q 換為任何命題，該推理仍是正確的，而不管p和q這兩個命題是否真實或是否有意義。例如，假設(shè)p代表「太陽從東邊升起」，q代表「一加一等於三」，那麼以下推理雖然看似荒謬，但從邏輯上看去卻是正確的：根據(jù)前提「如果太陽從東邊升起，則一加一等於三」和「太陽從東邊升起」，可以推出「一加一等於三」。

請注意上段的推理之所以會推出「一加一等於三」這個錯誤結(jié)論，乃在於它的其中一個前提-「如果太陽從東 邊升起，則一加一等於三」是錯誤的，而不是整個推理模式有錯誤。因此邏輯學(xué)所關(guān)心的是整個推理模式的正 確性，而不是個別前提的正確性。邏輯學(xué)只能保證從正確的前提出發(fā)可以推出正確的結(jié)論，至於前提正確與否 ，並不屬於邏輯學(xué)的研究範(fàn)圍，而須根據(jù)其他學(xué)科或常識作出判斷。

由此可見，邏輯學(xué)所指的正確推理方式是純粹從形式方面考慮的，而不考慮其實質(zhì)內(nèi)容，實質(zhì)內(nèi)容是其他學(xué)科 的研究範(fàn)圍。這一點(diǎn)有點(diǎn)跟數(shù)學(xué)相似，這就是為何邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)關(guān)係這樣密切，同被稱為「思維科學(xué)」的原因 了。

邏輯學(xué)的有用性不僅在於闡明個別的正確推理模式，還在於它可以把互相有關(guān)連的推理組成為一個推理系統(tǒng)， 而在邏輯學(xué)上最受人注目的推理系統(tǒng)就是「公理系統(tǒng)」。所謂公理系統(tǒng)，就是從一些不加定義的原始概念和不 加證明的原始命題(即公理Axiom)出發(fā)，利用邏輯學(xué)中的定義方法和正確推理模式逐步引出其他概念和推出其 他命題(即定理Theorem)。這樣，公理系統(tǒng)中的知識就不是雜亂無章，而是有嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)的。較後出現(xiàn)的定義和 定理須依賴較早出現(xiàn)的定義和定理(或公理)，層層相扣，整個知識體系井然有序，無懈可擊。

例如，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德(Euclid)的名著《幾何原本》就是邏輯學(xué)中運(yùn)用上述方法建構(gòu)公理系統(tǒng)的代表作 。歐幾里德的公理系統(tǒng)從最初的若干個定義和10條公理(註2)出發(fā)，逐步推出全書286條定理。每條定理的證明 都是建基於該10條公理、先前定義的概念、先前已證明的定理以及正確的推理模式。由於《幾何原本》非常成 功地建立了幾何學(xué)的公理系統(tǒng)，它不僅成為西方以後二千多年的幾何學(xué)教科書，而且更成為其他學(xué)科公理化( Axiomatization)的楷模。例如荷蘭哲學(xué)家斯賓諾莎(Spinoza)便模倣歐幾里德的《幾何原本》撰寫其哲學(xué)著作 。偉大物理學(xué)家牛頓Newton的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》也是模倣《幾何原本》的體例的，例如著名的牛頓 三大運(yùn)動定律便是以公理的形式出現(xiàn)在他的著作的開首。

當(dāng)然，《幾何原本》作為二千多年前的著作，它也不是毫無缺陷的。事實上，在其面世後的二千多年中便有不 少數(shù)學(xué)家指出它在某些地方還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，例如它沒有採用某些「不加定義的原始概念」作為推理的起點(diǎn)，而是 強(qiáng)行對所有概念下定義(註3)，結(jié)果使某些概念(例如點(diǎn)、線、面等)的定義使用了常識性的語言，不夠嚴(yán)格。 此外，它的某些定理的證明在不自覺中使用了某些未被列為公理或未被證明為定理的事實，因而在邏輯上不夠嚴(yán)格。這些問題直至19世紀(jì)末大數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert)出版《幾何基礎(chǔ)》，重新建立歐幾里德幾何的邏輯基礎(chǔ)才最終解決。

公理系統(tǒng)是最嚴(yán)謹(jǐn)、最理想化的推理系統(tǒng)，可是並非所有知識體系都必須以公理系統(tǒng)的形式出現(xiàn)。其實很多涉及推理的文章或書籍(例如數(shù)學(xué)、物理學(xué)的推理以致一般的常識推理)都不以公理系統(tǒng)的形式表述其知識，但這並不代表這些文章或書籍的論述缺乏邏輯性。事實上，只要其立論是從一些已被證實或公認(rèn)為基本正確的觀察 或前提出發(fā)，並使用正確的邏輯推理，那麼其定理或結(jié)論就是可靠和符合邏輯的。雖然這些觀察、前提、定理 和結(jié)論並不構(gòu)成一個公理系統(tǒng)，但它們卻構(gòu)成一個邏輯推理系統(tǒng)。

例如典型的牛頓力學(xué)(Newtonian Mechanics)教科書便是從運(yùn)動學(xué)(Kinematics)的一些基本概念(如位移 Displacement、速度Velocity、加速度Acceleration)、有關(guān)力的合成和分解的概念以及牛頓運(yùn)動三大定律出 發(fā)，逐步引出其他概念和推出其他公式、定理或結(jié)論(例如有關(guān)動量Momentum和機(jī)械能Mechanical Energy的各種概念和定理便是從前述概念和定律導(dǎo)出的)。雖然教科書可能會由於某些公式或定理的證明涉及艱深的數(shù)學(xué) 而予以略去或簡化，但這並不影響這一學(xué)科的邏輯性，因為這些公式或定理不是臆造出來的，讀者只要具備足夠的數(shù)學(xué)水平，便可在其他書籍找到並看懂這些公式或定理的嚴(yán)格證明。

說到這裡，我們可以把邏輯推理系統(tǒng)看作邏輯學(xué)與其他學(xué)科知識的結(jié)合。系統(tǒng)中的各種概念、觀察、公理不屬邏輯學(xué)的範(fàn)圍，是其他學(xué)科的知識，但根據(jù)這些概念、觀察、公理推出的其他定理或結(jié)論卻是邏輯推理的結(jié)果 。因此，雖然我們說邏輯學(xué)所研究的對象是純形式的，不涉及實質(zhì)內(nèi)容，但是邏輯的應(yīng)用卻經(jīng)常涉及實質(zhì)的學(xué)科知識。

現(xiàn)在可以嘗試解答本文第二段的問題：日常生活中人們常常提到的邏輯究竟是否等同邏輯學(xué)中所說的邏輯。答案是既是且否，視乎你採取哪一個角度看問題。從形式上說，第二段的兩個例子都與邏輯學(xué)中的推理模式不相干。它們所涉及的都是常識推理和科學(xué)知識，即邏輯學(xué)以外的知識。換句話說，光靠邏輯學(xué)的知識，是不能作 出本文第二段所述的兩個推理的。

但是，若從推理系統(tǒng)的角度去看，那麼上述兩個例子的推理又並非跟邏輯學(xué)毫不相干。先看看「絕對零度」的 例子。假如我們把物理學(xué)有關(guān)體積、溫度和壓強(qiáng)關(guān)係的理論看成一個邏輯推理系統(tǒng)，那麼「不存在低於絕對零度的溫度」便是其於這個系統(tǒng)的各種定義、觀察、前提而得的符合邏輯的結(jié)論。至於「張三死了」的例子，則是典型的日常推理的例子，其特點(diǎn)為省略了很多前提和中間推理環(huán)節(jié)。如果我們補(bǔ)上這些前提和中間環(huán)節(jié)，便可清楚看到其推理模式。例如，如果我們補(bǔ)上以下前提：「如果張三昨天死了，他今早便不會上學(xué)」，稱之為 (1)，再加上第二段給定的兩個前提「張三昨天死了」(2)和「張三今早上學(xué)」(3)，便可清楚看出該例子不合 邏輯的地方。對(1)和(2)使用「肯定前件式」推理，可以得出「張三今早不會上學(xué)」(4)，但(4)正好是(3)的 否定。由於這個推理系統(tǒng)同時肯定了(3)和它的否定，造成了矛盾，亦即是不合邏輯的。

綜上所述，邏輯有廣狹二義。狹義的邏輯是指邏輯學(xué)家專門研究或者邏輯學(xué)教科書、論文所討論的邏輯，這種邏輯一般都很形式化，並非所有人都接觸過。廣義的邏輯則泛指一般的推理，不一定很嚴(yán)格或形式化，也不一 定形成嚴(yán)密的邏輯推理系統(tǒng)。根據(jù)後一種定義，人們的日常生活其實在大量使用邏輯

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註1：以上寫法還未完全符號化，如果套用現(xiàn)代符號邏輯(Symbolic Logic，亦即數(shù)理邏輯Mathematical Logic )的其中一套符號系統(tǒng)，「如果p，則q」應(yīng)寫為「p -> q」。

註2：歐幾里德把他的10條公理分為兩類，分別用不同的名稱稱之，其中五條公理涉及一般數(shù)學(xué)，他稱為「公 理」，其餘五條則是專門涉及幾何學(xué)的，他稱為「公設(shè)」。但從邏輯學(xué)的角度看，他的「公理」和「公設(shè)」在 本質(zhì)上沒有甚麼分別，其實都是公理。

註3：任何一個公理系統(tǒng)均須預(yù)先確定一些「不加定義的原始概念」，所有其他概念的定義均建基於這些原始 概念。如果沒有這些「不加定義的原始概念」作為起點(diǎn)，那麼公理系統(tǒng)中的概念便無法定義，或者陷入循環(huán)定 義的泥潭。