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[達(dá)人專欄] 讓我們好好認(rèn)識「函數(shù)」吧

作者：解凍豬腳│2020-09-29 21:30:37│巴幣：1,221│人氣：3465

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　　哈囉大家好，為了因應(yīng)文章必須用不同字體和排版方式發(fā)表在各個平臺上，以及配合之後要分享的一系列微積分觀念，所以換個方式把這些文章更完整地重新再寫一次。這次希望可以連同「零基礎(chǔ)」的族群也考慮進(jìn)去，並且盡量在「嚴(yán)謹(jǐn)」和「淺顯易懂」之間取得平衡。

　　在臺灣的國中數(shù)學(xué)課程裡，我們學(xué)到：「函數(shù)是兩個集合之間的對應(yīng)關(guān)係。」當(dāng)你試圖想了解這句話的時候，也許一不留神，就會在數(shù)學(xué)課本的下一行突然看到長得像這樣的式子：

f(x) = 3x+7

　　「What？在我的理解中，x 不是未知數(shù)嗎？我只會解一元一次方程式啊大哥！為什麼 f(x) 會等於 3x+7？」我相信國中時期就開始放棄數(shù)學(xué)的人，多數(shù)人都是在這關(guān)被打敗，從此不再踏入數(shù)理之門一步。

　　記得國中的時候我也因?yàn)楹瘮?shù)而受挫。那段日子正逢叛逆期（或許吧？但似乎比較像是單純愛玩），所以上課老是睡覺、發(fā)呆，我的情況可以說是根本不知作業(yè)為何物。當(dāng)我段考前兩天回過頭來要惡補(bǔ)進(jìn)度的時候，才發(fā)現(xiàn)我已經(jīng)看不懂了。後來也許是老媽以手上的衣架作為明燈，指引我的方向，我才終於弄懂函數(shù)是怎麼一回事。

　　在我解釋函數(shù)是什麼之前，讓我先考考你以下幾個問題：

　　一、1 月一共有幾天？
　　二、2 月一共有幾天？
　　三、「有 31 天」的月份是幾月？
　　四、「有 31 天」的月份有幾個？
　　五、攝氏 30 度必定等於華氏 86 度嗎？

　　是的，相信你心裡一定很快就會浮現(xiàn)出一些答案，但是其中更加聰明（奸詐？）的讀者應(yīng)該又會隨後補(bǔ)充答案。

　　正確來說的話，答案是：

　　一、31 天
　　二、平年 28 天，閏年 29 天
　　三、1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月
　　四、7 個
　　五、是

　　沒錯，不要懷疑，我舉例的這五個問題都跟「函數(shù)」的性質(zhì)有很大的關(guān)係。

　　函數(shù)這個東西呢，就好像一臺一般的自動販賣機(jī)一樣，當(dāng)你按了特定的按鈕，它就應(yīng)該要滾出一罐特定的飲料，而且只要你每次都按一樣的按鈕，那它每次滾出來的東西必定相同，這就是函數(shù)。

　　譬如，以月分來說，我們每次問：「平年的時候，一月有幾天？」的時候，一定都會得到 31 天的答案，沒有例外；當(dāng)我們問：「平年的時候，二月有幾天？」的時候，一定都會得到 28 天的答案，仍然沒有例外；其他月份亦然。

　　所以我們可以說：「因?yàn)樘鞌?shù)受到月分而定，所以同樣都是平年的時候，天數(shù)是『月分的函數(shù)』；同樣都是閏年的時候，天數(shù)也是『月分的函數(shù)』。」

　　但是，當(dāng)我們沒有在事先說好是平年或閏年的情況下，直接問你二月有幾天呢？這時候你就沒辦法乾脆地回答了。因?yàn)槟悴恢朗瞧侥赀€是閏年，所以二月可能有 28 天，也可能有 29 天——世界上豈有按了按鈕卻隨機(jī)掉出兩種飲料的自動販賣機(jī)呢？那不就是詐騙了嗎？所以，這時候天數(shù)就不是月分的函數(shù)了，因?yàn)楫?dāng)我遇到二月的時候，對應(yīng)的天數(shù)不是唯一的。

　　因此，一旦牽扯了平年閏年，問題就會變得有點(diǎn)複雜。我們先姑且當(dāng)作每年都是平年吧！這樣也比較易於解說。

　　因?yàn)椤负瘮?shù)」的英文叫做 function，直譯過來也可以稱作是一個「方法」（在程式設(shè)計的領(lǐng)域裡，會有人這樣說），所以一般習(xí)慣上我們在隨意假設(shè)一個函數(shù)的時候，習(xí)慣把它的名字取為 f。用數(shù)學(xué)式來表達(dá)的話，我們可以列出：

　　f(1) = 31
　　f(2) = 28
　　f(3) = 31
　　f(4) = 30
　　f(5) = 31
　　f(6) = 30
　　f(7) = 31
　　f(8) = 31
　　f(9) = 30
　　f(10) = 31
　　f(11) = 30
　　f(12) = 31

　　月分是 1 的時候，經(jīng)過了 f 函數(shù)的轉(zhuǎn)換，得到了 31 天的結(jié)果；月分是 2 的時候，經(jīng)過了 f 函數(shù)的轉(zhuǎn)換，得到了 28 天的結(jié)果……。

　　沒錯，這就是函數(shù)的核心觀念：「對應(yīng)」。

　　有常識的我們也知道，一年 12 個月當(dāng)中，如果以平年計算的話，「有 28 天」的月分有 1 個、「有 30 天」的月分有 4 個，「有 31 天」的月分有 7 個。無論你怎麼重新計算，只有 28 天的月分一定只有 1 個、只有 30 天的月分一定只有 4 個、總共有 31 天的月份一定有 7 個。同樣地，我們也可以把這樣的對應(yīng)關(guān)係寫成數(shù)學(xué)式（假設(shè)這個函數(shù)叫做 g）：

　　g(28) = 1
　　g(30) = 4
　　g(31) = 7

　　至於「有 31 天的月分」是「幾月」，可就沒有必定的答案了。因?yàn)樗赡苁?1 月、可能是 3 月、可能是 5 月、……（中間省略）、可能是 12 月，我們總不可能寫得像這樣：

　　h(31) = 1
　　h(31) = 3
　　h(31) = 5
　　h(31) = 7
　　h(31) = 8
　　h(31) = 10
　　h(31) = 12

　　如果這麼寫的話，那你說從今以後遇到 h(31) 的時候，我們到底要計為多少才是正確的呢？所以，只要這之間出現(xiàn)了「一對多」的關(guān)係，我們就不能說它是函數(shù)。因此，月分並不是「天數(shù)的函數(shù)」（注意語序！「A 是 B 的函數(shù)」跟「B 是 A 的函數(shù)」並不同）。

　　綜合以上的說明，我們就可以知道「1 月一共有幾天」可以是函數(shù)關(guān)係（因?yàn)橐欢ǘ际?31 天），「『有 31 天』的月份有幾個」也可以成為函數(shù)關(guān)係（因?yàn)橐欢ㄊ?7 個），但是「2 月一共有幾天」或是「『有 31 天』的月分是幾月」都會出現(xiàn)不一定的答案，所以不能成為函數(shù)關(guān)係。

　　是的，簡單來說，函數(shù)就好像一個特定服務(wù)的窗口，當(dāng)你想要查詢資料的時候，只要給這個服務(wù)臺的人員相關(guān)資訊，他就會告訴你一個特定的答案，而「從輸入的值轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅闹怠沟囊?guī)則，就是這個函數(shù)的定義。

　　我們剛才定義的函數(shù) f(x)，這個 x 只能是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 的其中一個，我們就可以說 f 的「定義域」是「1 ≦ x ≦ 12, x ∈ Z」（x 不小於 1 也不大於 12，且 x 為整數(shù)），而 f(x) 可能是 28、可能是 30、可能是 31，我們就可以說 {28, 30, 31} 這個集合是 f 的「值域」。

　　剛才我們就順手把定義好的 f(x) 寫成定義的式子了：
　　f(x) = x 月的天數(shù), 1 ≦ x ≦ 12, x ∈ Z

　　那上面剛才定義的 g(x) 怎麼寫成數(shù)學(xué)式呢？我們可以這麼寫：

　　

　　而這個 f(x)，我們可以讀作「f of x」，g(x) 可以讀作「g of x」，以此類推。

　　這兩個例子的定義看來是很人為的，都是從特定的數(shù)字對應(yīng)到特定的數(shù)字。倘若今天某個函數(shù)有規(guī)律可循，輸入的數(shù)值可以有無限多種可能，我們總不可能逐一列出，對吧？

　　而在我們剛才的五個小問題當(dāng)中，就有一個可以很單純用一個數(shù)學(xué)式來表達(dá)的函數(shù)——攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)係。我們都知道，攝氏溫度乘以

，然後再加上 32，就可以轉(zhuǎn)換成華氏溫度的數(shù)字，譬如攝氏 50 度，我們只要把 50 乘以

（變成了 90），再加上 32，就可以知道攝氏 50 度等於華氏 122 度，以這個函數(shù)來說，用數(shù)學(xué)式來表示可以寫作 f(50) = 122。

　　所以，我們可以定義一個叫做 f 的函數(shù)，只要輸入了攝氏溫度 x，就會轉(zhuǎn)換出華氏溫度 f(x)，它們的數(shù)學(xué)關(guān)係式如下：

　　是的，這行就是整個 f(x) 函數(shù)的定義了。它代表的是，如果今天我想計算 x 的函數(shù) f(x)，那我就必須把這個 x 乘以

，然後再加上 32，就是 f(x) 的值，而這個 x 可以任你填（此處不探討實(shí)數(shù)域以外的問題）。在數(shù)學(xué)上，我們輸進(jìn)去的值 x 叫做「自變數(shù)」，輸出來的值 f(x) 叫做「應(yīng)變數(shù)」。

　　有了「函數(shù)」的觀念以後，各領(lǐng)域的人士在分析數(shù)據(jù)的時候，就更能明確地了解數(shù)值之間的關(guān)係，而因?yàn)槎鄶?shù)情況下這些關(guān)係被簡化成了代數(shù)的操作，所以也就變得更利於計算。

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留言共 39 篇留言

臺灣嘻哈酷老頭：
才華洋溢

09-29 21:33

☆=寂星=★：
數(shù)學(xué)霸佬

09-29 21:34

alph：
豬腳也要分享數(shù)學(xué)了嗎 [e12]

09-29 21:34

解凍豬腳：
以前就有，但當(dāng)時文章寫得有點(diǎn)亂，就先隱藏起來了09-29 21:35

你在搞什麼：
我滑巴哈是為了降低智商不是來學(xué)數(shù)學(xué)的

09-29 21:39

清廉正直の記者：
才華洋溢的豬腳

09-29 21:43

更新的人格：
簡略如下：
Input number or something
↓
(丟進(jìn)鎔爐裡翻騰好一陣子)
↓
Output Anser

09-29 21:54

曰光：
星爆氣流斬=雙刀x桐人+科巴茲送往

09-29 21:59

@@：
例題:
132
Σ(k)=
k=6

09-29 21:59

積極努力認(rèn)真向上：
微積分、線代跟離散也會有ㄇ

09-29 22:01

我喜歡吃飯：
霸

09-29 22:01

鄭曉麥：
寫程式的時候函數(shù)也是灰常重要

09-29 22:02

洨豆腐：
謝謝豬腳，我成功寫出導(dǎo)引飛彈的程式了

09-29 22:08

Swat-豹豹模式：
比起函數(shù) 我更想好好認(rèn)識你

09-29 22:10

遙：
謝謝豬腳我覺得我可以考上臺大了

09-29 22:17

Iandmyself：
數(shù)學(xué)佬

09-29 22:26

我只是路過的蘿莉控：
豆腐大大記得往某個地方發(fā)射哦w

我們老師之前是直接說把F(x)當(dāng)成另一個未知數(shù)來理解w

我記得豬腳好像寫過微積分的教學(xué)？沒記錯的話我好像是因?yàn)檫@樣知道你的www

09-29 22:30

美好的過去漸行漸遠(yuǎn)：
教c++函式ㄇ

09-29 22:33

路過的一隻山姆：
在學(xué)函數(shù)以前就已經(jīng)學(xué)過程式了
所以學(xué)函數(shù)時完全沒有疑惑

09-29 22:35

水母萬萬歲：
謝謝豬腳我更了解ㄌ

09-29 22:53

快要崩潰的人：
下一次來個量子力學(xué)吧

09-29 23:24

通知達(dá)人：
看完的瞬間我茅塞頓開輸O管都通暢了不少謝謝豬腳謝謝...

09-29 23:25

人生的容錯率其實(shí)很低：
靠......我還以為你要講她們。
https://www.youtube.com/watch?v=xnku4o3tRB4

09-29 23:55

：
你怎麼會這麼多東西...
之前看你會繪圖日文和程式語言
我看哪天癌癥無痛特效藥都被你給研發(fā)出來了

09-29 23:56

熊貓：
希望可以介紹微積分學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)

09-29 23:59

熊貓：
函數(shù)介紹得非常清楚!

09-30 00:00

舞：
f*ck(dark deep)= tofutm ass

09-30 00:06

雞塊：
曾經(jīng)有函數(shù)卡過
不過某天突然就通了然後學(xué)程式遇到也就沒阻礙了

09-30 02:28

臺灣藍(lán)鵲 Magpijuana：
來謝恩

09-30 08:17

雪之王女?F?巧可奈：
純推

09-30 08:45

玥蝶：
推…(*ˉ︶ˉ*)

09-30 12:58

イブキ（山豬）：
樓上說線代的那東西說真的講了也很多人不懂別誤會我不是說在座的各位都不懂但是線代是真的太抽象了

09-30 19:17

flas：
函數(shù)怎麼定義阿？[e12]

09-30 19:19

しろ：
f(1919)=114514

09-30 20:00

peacexlove：
身為數(shù)學(xué)系水深火熱出身的人，我會看著你們笑，線性代數(shù)只是大一塞牙縫的，有一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科，範(fàn)疇論，其證明足以讓數(shù)學(xué)系的人笑著說，哇，好一個抽象廢話。縱使你懂函數(shù)，一但函數(shù)代數(shù)化可以讓你再一次懂不了

09-30 20:12