如果正在閱覽本文的你是個(gè)成年人的話，你應(yīng)該已經(jīng)經(jīng)歷過 9 至 12 年的數(shù)學(xué)教育了。在談建構(gòu)式數(shù)學(xué)之前，請(qǐng)先思考一下這三個(gè)問題：
1. 你喜歡數(shù)學(xué)嗎？
2. 如果不喜歡的話，為什麼你不喜歡數(shù)學(xué)？
3. 你在求學(xué)階段遇到的所有數(shù)學(xué)老師，在你心中的評(píng)價(jià)如何？
相信提及這三個(gè)問題，很多人就會(huì)開始聯(lián)想到以前曾經(jīng)背過的那些公式：2a 分之負(fù) b 加減根號(hào) b 平方減 4ac、a 平方減 b 平方等於 a+b 乘以 a-b……
哇靠，那真的是惡夢(mèng)。
數(shù)學(xué)題目拐了幾個(gè)彎還不打緊，要是碰上了看來複雜的公式，不少人就卻步了。2018 年的大學(xué)學(xué)科能力測(cè)驗(yàn)，甚至有高達(dá) 42.11% 的該屆考生數(shù)學(xué)成績(jī)不超過五級(jí)分！（註：大學(xué)學(xué)科能力測(cè)驗(yàn)，臺(tái)灣的升大學(xué)主流考試管道。國(guó)文、英文、數(shù)學(xué)、社會(huì)、自然各採(cǎi) 15 級(jí)分計(jì)分制度。）
相對(duì)於其他科目可想而知，數(shù)學(xué)是許多臺(tái)灣學(xué)生不願(yuàn)面對(duì)（或是找不到方法攻克）的大魔王，而其中常見的理由便是：「公式太多了！我背不起來。」
。建構(gòu)式數(shù)學(xué)
實(shí)際上，上述的理由已經(jīng)足以看穿臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教育問題——數(shù)學(xué)究竟為何要依賴死背的方法？這不是很弔詭的事情嗎？
從小到大，無論是家長(zhǎng)、老師、同學(xué)，他們總是告訴你：「數(shù)學(xué)，不要死背，要理解。」但是完全沒告訴你，怎麼樣才叫做「理解」，所以無論是誰，聽來只會(huì)覺得這是一連串的幹話，到最後還是淪於以背公式來解題的下場(chǎng)。
為了解決這個(gè)問題，部分的教育家提出了「建構(gòu)式數(shù)學(xué)」的概念。不管你有沒有聽過所謂的建構(gòu)式數(shù)學(xué)，我這就從頭開始講起。
倘若要探究它的歷史，我們就得要回歸到約 30 年前的美國(guó)來談了。1989 年，美國(guó)的數(shù)學(xué)教師委員會(huì)提出了一種重視「演算過程及背後原理」的教學(xué)方式。
這樣的教學(xué)方式，強(qiáng)調(diào)的是解題的過程、想法，即使沒有算得標(biāo)準(zhǔn)答案，仍然依照計(jì)算過程斟酌給分，而不是你到底有沒有算出正確答案。
。引進(jìn)建構(gòu)式數(shù)學(xué)的臺(tái)灣
這類的教學(xué)方式在推出後不到十年就被引進(jìn)臺(tái)灣了，並且在沒有完善配套措施的情況下硬是拿來推動(dòng)教育改革。
結(jié)果產(chǎn)生了什麼奇怪的現(xiàn)象呢？題目問：「一個(gè)盒子有三顆蘋果，那請(qǐng)問五個(gè)盒子有幾顆蘋果？」學(xué)生將 3×5 = 15 這條算式寫在考卷上面，結(jié)果被某些老師打了一個(gè)大大的叉叉，然後寫上了：3+3+3+3+3 = 15。
你一定會(huì)問：「我到底看了三小？」
沒錯(cuò)，無論是你、是我，還是那些主導(dǎo)教改的教授和官員們，全都不知道這老師到底在幹三小。然而，這樣的現(xiàn)象在當(dāng)時(shí)卻是到處發(fā)生的。
那些老師的理由是：「錯(cuò)了！不準(zhǔn)用背的，因?yàn)槟阌?3×5 憑空生出 15 這個(gè)答案，這樣就違背了建構(gòu)式數(shù)學(xué)的原則。」
從那之後（一直到 2003 年），再也沒有人去背九九乘法表。即使不背九九乘法表，也沒有人知道為何要拆成 3+3+3+3+3，只覺得教育部搞了多此一舉的事情。
基於家長(zhǎng)的反彈聲浪，加上媒體的渲染，不出幾年，教育部（2003 年）就宣布「不再獨(dú)尊建構(gòu)式數(shù)學(xué)」，而舊有的九九乘法表也回歸到教材內(nèi)容當(dāng)中。
。所以建構(gòu)式數(shù)學(xué)是垃圾嗎？
既然我標(biāo)題都這麼寫了，那我當(dāng)然不是來抨擊的呀！若你想看那些抨擊建構(gòu)式數(shù)學(xué)的評(píng)論，快把這網(wǎng)頁(yè)關(guān)掉，去翻翻那幾年的新聞報(bào)紙就可以了嘛（時(shí)至今日，仍然有一群媒體怪獸在無腦批評(píng)建構(gòu)式數(shù)學(xué)）。
這時(shí)候要回過頭來看看問題的根本：為什麼建構(gòu)式數(shù)學(xué)會(huì)推行失敗？這要根據(jù)以下幾點(diǎn)來談了：
1. 建構(gòu)式數(shù)學(xué)的精神推行不易
2. 教師沒有理解什麼是建構(gòu)式數(shù)學(xué)
3. 推行方式過於極端
為何建構(gòu)式數(shù)學(xué)的精神推行不易？廢話！剛才跟你講了這麼多，你只能知道建構(gòu)式數(shù)學(xué)是「重視演算過程的精神」，這不就跟「數(shù)學(xué)，不要死背，要理解」一樣幹話嗎？
這樣的精神，雖然推行不易卻又很重要，是因?yàn)檫@關(guān)係到了「我們的腦袋如何『理解』數(shù)學(xué)」，為了讓你更瞭解「重視演算過程」是怎麼個(gè)重視法，就舉剛剛談到的例子：
Ｑ：「一個(gè)盒子有三顆蘋果，那請(qǐng)問五個(gè)盒子有幾顆蘋果？」
一般人會(huì)直覺地做了 3×5 = 15 這條式子，然後得出答案是 15 顆蘋果。實(shí)際上，建構(gòu)式數(shù)學(xué)想要表達(dá)的是，當(dāng)你遇到這類問題的時(shí)候，你應(yīng)該要在腦袋裡建起一個(gè)基本的結(jié)構(gòu)，像這樣：
▲ 這是一個(gè)裝了三顆蘋果的盒子（不是紅綠燈！請(qǐng)你體諒我不擅長(zhǎng)作圖）。
當(dāng)我有五個(gè)一樣的盒子，那麼蘋果的總數(shù)就會(huì)變成 5 個(gè) 3 的總和，那用這樣的圖片，也就可以同時(shí)解釋「3×5 = 15」跟「3+3+3+3+3 = 15」的概念了：
▲ 五個(gè)個(gè)別裝了三顆蘋果的紅綠……咳咳，盒子。
是的，這樣的觀念如果單純想要從主導(dǎo)教育的那群人以文字來表達(dá)，必是難以傳達(dá)的，於是為何會(huì)從「3×5 = 15」變成「3+3+3+3+3 = 15」，也就沒辦法被眾人（包括教師）理解。
這個(gè)觀念的好處在哪裡？實(shí)際上，每個(gè)人在剛開始接觸數(shù)學(xué)的時(shí)候，只能依照老師給的有限的東西來試圖理解它們——也就是說，要是你知道 3×5 的答案是 15，卻沒有習(xí)得背後的原理，那就無法完善地建構(gòu)出 3×5 的觀念，只知道 3 和 5 乘起來就是 15。如此，往後就會(huì)有很多數(shù)學(xué)題目，你會(huì)習(xí)慣依賴使用公式來解開題目，而不是優(yōu)先考慮「為何這麼做可以解決問題」了。
畢竟建構(gòu)式數(shù)學(xué)的概念很抽象，這點(diǎn)我想也可以用個(gè)位數(shù)的加法心算來作例。
你可以實(shí)驗(yàn)看看，去問問身邊的人 7+6 等於多少，然後觀察他的行為。倘若你發(fā)現(xiàn)他嘴裡念念有詞：「7……8、9、10、11、12、13，答案是 13。」甚至伸出手指一個(gè)一個(gè)數(shù)，那他的心算能力應(yīng)該很差，而且你只要用二位數(shù)加法來考他，他就得要拿出紙來算才行。利用這樣的方法，就可以稍微探得出他的腦袋裡是怎麼理解加法的了。
那麼，不死背的人，又該如何計(jì)算 7+6 = 13 呢？以我的習(xí)慣作例：
▲ 我會(huì)習(xí)慣把 7 先排好，然後把 6 砍半變成兩個(gè) 3。
▲ 接著，把其中的一組 3 移到 7 那邊，剛好組成一個(gè) 2×5 的圖形矩陣。
▲ 變成 10+3 了，答案顯而易見，就是 13。
當(dāng)然這不是唯一方法，你想怎麼拆就怎麼拆，端看你自己的習(xí)慣。我會(huì)有這樣的習(xí)慣，也許要感謝幼稚園的老師了吧，她時(shí)常會(huì)強(qiáng)調(diào)：「1 的好朋友是 9，2 的好朋友是 8，3 的好朋友是 7……」並且輔以類似的圖形來幫助我們學(xué)會(huì)「怎麼樣才能找到規(guī)律，組成一個(gè) 10」，久而久之，它就成了我心算流程的一部分了。
這樣的過程，如果寫成數(shù)學(xué)式子就會(huì)變成：
7+6 = 7+(3+3) = (7+3)+3 = 10+3 = 13
那麼，像上面這樣單純依照文字來表達(dá)的話，當(dāng)然就會(huì)變得很像做了一堆多此一舉的事情（正因?yàn)槭潜粚懺诩埳希皇菃幔?/font>
因此，在教師還沒有受過足夠的建構(gòu)式數(shù)學(xué)訓(xùn)練，多數(shù)的老師也就只會(huì)覺得「教育部規(guī)定我要這樣教學(xué)生」，根本不知道為什麼看起來會(huì)變得這麼複雜，這也就成了各界群起撻伐建構(gòu)式數(shù)學(xué)的原因。而那些只針對(duì)「建構(gòu)式數(shù)學(xué)」這個(gè)議題撻伐（而不是針對(duì)「是否有足夠的配套措施」這件事）的人，通常都不太懂建構(gòu)式數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)單來講就是跟著媒體和家長(zhǎng)一起跟風(fēng)的一群罷了。
。太過極端的建構(gòu)式數(shù)學(xué)導(dǎo)致的問題
然而，起初談到的其中一個(gè)問題還沒有解決，那就是：「到底該不該背九九乘法表？」
我的答案是「應(yīng)該」。看到這裡，你一定會(huì)覺得很矛盾，我剛才談了這麼多，卻是支持九九乘法表的人，這不是很奇怪嗎？
這個(gè)問題應(yīng)該要分成兩個(gè)層面來看，一個(gè)是背誦，一個(gè)是理解。實(shí)際上，我覺得這兩者並沒有衝突。感覺就好像你可以輕鬆唸出「三輪車，跑得快，上面坐個(gè)老太太」，同時(shí)你的腦袋裡面也能夠有一個(gè)老太太坐在三輪車上面飆車甩尾的畫面一樣，而不是單純死死的一行字。
畢竟，九九乘法表有數(shù)十種組合，而乘法的設(shè)計(jì)本身也是可以畫成圖形來看的（如同剛剛的圖形矩陣），倘若能夠在「為何乘法是乘法」的基礎(chǔ)上做好觀念的教育，那在這樣的情形下才把口訣傳授給學(xué)生，讓學(xué)生能夠把這樣的基本運(yùn)算速度加快，往後遇上其他章節(jié)的時(shí)候也找到方法把基礎(chǔ)打好，那學(xué)生就不會(huì)再單純覺得數(shù)學(xué)是一堆公式組成的 boss 了。
所以，我想當(dāng)時(shí)配套措施沒做好是一回事，但如果因?yàn)檫@樣就去批評(píng)建構(gòu)式數(shù)學(xué)，終究只會(huì)變成害死臺(tái)灣學(xué)生的其中一員而已。
倘若要走極端式的建構(gòu)式數(shù)學(xué)，那臺(tái)灣的數(shù)學(xué)教育結(jié)構(gòu)勢(shì)必得要整個(gè)打掉重來，因?yàn)椴豢赡茉诓灰蕾嚒改承┛谠E」的情況下去應(yīng)付現(xiàn)在臺(tái)灣學(xué)生普遍需要面對(duì)的題目難度。
以現(xiàn)在的教育環(huán)境來說，折衷的方法就只能是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與建構(gòu)式數(shù)學(xué)兩者並行了，最重要的是在入門的階段，千萬不能夠把背後的思考過程省略掉。倘若能做好基礎(chǔ)教育的話，依照臺(tái)灣人那麼喜歡在 Facebook 上面解益智題目的個(gè)性，才不可能會(huì)搞得四成的人考不到六級(jí)分的下場(chǎng)呢。
未來這個(gè)地方也會(huì)盡量用追根究底的方式，來把一些數(shù)學(xué)的解題思維跟原理寫成文章分享給大家，不要永遠(yuǎn)只是「我該用什麼步驟解題」，如果賞臉的話可以稍微關(guān)注一下。
創(chuàng)作內(nèi)容
豬腳生活 (1)
